Torre de Lire

Aqui, vamos discutir um método para empilhar n objetos sobre a quina de uma mesa, de modo que cada objeto adicionado deve estar mais ‘para fora’ da mesa quando comparado com o objeto anterior. Este método é conhecido como a Torre de Lire. Mas se nós já começamos na quina, e estamos indo cada vez mais e mais ‘para fora’ da mesa, como podemos empilhar estes blocos sem que a pilha desmorone?

O segredo está no conceito de centro de massa. Não importa como os blocos são empilhados, se o centro de massa estiver sobre a mesa, e sob o primeiro bloco, a pilha de blocos estará em equilíbrio. Mas como podemos calcular o centro de massa de um objeto?

Centro de Massa

X_c=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} M_i}

Onde M_i é a massa di i-ésimo bloco, m_i é a massa de cada ponto individualmente e x_i é a posição deste ponto sobre o eixo x do plano cartesiano. Uma formula análoga pode ser usada para encontrar a coordenada y do centro de massa, mas isso não será importante agora.

OBS: Como estamos calculando as coordenadas do centro, já podemos imaginar que coordenadas e o plano cartesiano serão importantes para esta atividade.

IMPORTANTE: Blocos devem ser idênticos, e com massa igualmente distribuída por todo o corpo.

O segredo para que o esta pilha de blocos permaneça em equilíbrio ao mesmo tempo que empilhamos blocos mais e mais ‘para fora’ da mesa é usar a série harmônica (ou melhor, a metade dela) para determinar as proporções de cada bloco que estarão suspensas, em relação ao bloco anterior.

Série Harmônica

S= 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+ \cdots

Então metade da série harmônica será:

\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}\left( 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+ \cdots \right)

\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{10}+\cdots

Lembrando que estas frações determinam a proporção do bloco que estará suspensa. Como estamos falando de proporção, o comprimento do bloco utilizado será relevante em nossos cálculos. Vejamos a seguir alguns exemplos onde empilhamos blocos de comprimento k=4.

IMPORTANTE: A ordem das frações deve ser tomada da direita para a esquerda, usando uma nova fração para cada novo bloco adicionado.

Exemplos

Exemplo 1: Vamos começar com um único bloco. Como temos apenas um bloco, vamos utilizar apenas a primeira fração da metade da série harmônica (\frac{1}{2}). Ou seja, metade do bloco deve estar sobre a mesa e a outra metade deverá estar suspensa.

Para que seja possível determinar as posições corretas de cada bloco, obedecendo as proporções determinadas pela metade da série harmônica, durante todos os exemplos, vamos imaginar a nossa mesa, e os blocos, sobre o plano cartesiano. A quina da mesa foi posicionada sobre a origem do plano cartesiano, de modo que, se a coordenada x do centro de massa for zero, podemos dizer que o centro de massa ainda está sobre a mesa e que, portanto, a pilha de blocos estará em equilíbrio. Veja a figura a seguir:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2021

Note que, como nosso bloco tem comprimento k=4 e metade dele deve estar suspenso, temos:

4\cdot \dfrac{1}{2}=2

E para determinar as coordenadas x dos pontos sobre a mesa, basta fazer 4\cdot\frac{1}{2}-4=-2. Ou seja, partindo do vértice mais a direita do bloco (que descobrimos tem coordenada x=2), subtraímos 4, que é o comprimento total do bloco.

Assim, determinamos as coordenadas de cada vértice do bloco usado na figura. Como, por hipótese a massa do bloco é uniformemente distribuída pelo objeto, podemos assumir que a massa M do bloco está uniformemente distribuída entre cada um dos seus 4 vértices.

Agora vamos usar a equação do centro de massa para verificar que de fato, o centro de massa está localizado sobre a borda da mesa, ou, sobre a reta x=0.

X_c=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{4} m_i x_i}{M}

X_c=\dfrac{\dfrac{M}{4}\cdot 2+\dfrac{M}{4}\cdot 2 -\dfrac{M}{4}\cdot 2 - \dfrac{M}{4}\cdot 2}{M}

X_c=\dfrac{\dfrac{M}{4}\overbrace{\left( 2+ 2+(-2)+(-2)  \right)}^{=0}}{M}

X_c= \dfrac{\dfrac{M}{4}\cdot 0}{M}=0

Ou seja, o ponto de massa está realmente sobre a reta x=0 e portanto, o bloco permanece em equilíbrio.

Exemplo 2: Agora vamos empilhar 2 blocos e usando a mesma estratégia. Como teremos 2 blocos, devemos usar as 2 primeiras frações da série harmônica (sempre da direita para a esquerda). O primeiro bloco ficará com \frac{1}{4} de seu comprimento pra fora da mesa (ou seja, \frac{1}{4}\cdot 4=1) e o segundo bloco ficará com \frac{1}{2} de seu comprimento a direita do bloco anterior ou, com \frac{1}{4}+\frac{1}{2} do comprimento fora da mesa (ou seja, \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{2} \right)\cdot 4=3).

Como no exemplo anterior, podemos calcular as coordenadas dos vértices a esquerda se tomarmos a coordenada x do vértice a direita e subtrairmos 4. Assim \frac{1}{4}\cdot 4-4=-3 e \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{2} \right)\cdot 4-4=-1. Veja na figura abaixo:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2021

Podemos usar estas coordenadas na fórmula do centro de massa para verificar que, como no primeiro exemplo, o centro de massa desta pilha continua sobre a reta x=0, ou seja, na quina da nossa mesa:

X_c=\dfrac{\dfrac{M}{4}\cdot 1+\dfrac{M}{4}\cdot 1 +\dfrac{M}{4}\cdot (-3)+\dfrac{M}{4}\cdot (-3)+\dfrac{M}{4}\cdot 3+\dfrac{M}{4}\cdot 3 +\dfrac{M}{4}\cdot (-1)+\dfrac{M}{4}\cdot (-1)}{M+M}

\dfrac{\dfrac{M}{4}\overbrace{\left( 1+1-3-3+3+3-1-1 \right)}^{=0}}{2M}

X_c=\dfrac{\dfrac{M}{4}\cdot 0}{2M}=0

Ou seja, funcionou de novo. Esta pilha de 2 blocos está perfeitamente equilibrada na mesa.

Exemplo 3: Para empilhar 3 blocos, devemos usar as 3 primeiras frações da metade da série harmônica. Veja a figura a seguir:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2021

O primeiro bloco ficará com \frac{1}{6} de seu comprimento suspenso, ou seja, \frac{1}{6}\cdot 4=\frac{4}{6}. O segundo bloco ficará com \frac{1}{4} de seu comprimento à direita do primeiro bloco, ou seja, 4\cdot\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{3} para fora da mesa. E assim por diante. Vamos então usar as coordenadas de cada um dos 12 vértices destacados na figura acima para encontrar o centro de massa:

X_c= \dfrac{\dfrac{M}{4}\overbrace{\left( \dfrac{4}{6}+\dfrac{4}{6}-\dfrac{10}{3}-\dfrac{10}{3}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{3}-\dfrac{7}{3}+\dfrac{11}{3}+\dfrac{11}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\right)}^{=0}}{M+M+M}

X_c = \dfrac{\dfrac{M}{4}\cdot 0}{3M}=0

Ou seja, a pilha de blocos está em equilíbrio.

Exemplo 4: Por último, vamos ver como fica a Torre de Lire com 4 blocos:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2021

Usando a mesma estratégia dos exemplos anteriores, determinamos as coordenadas de cada vértice de cada um dos 4 blocos, usando as primeiras 4 frações da metade da série harmônica. Vamos usar estas coordenadas para calcular o centro de massa da pilha de blocos:

X_c = \dfrac{\dfrac{M}{4}\overbrace{\left( \dfrac{4}{8}+\dfrac{4}{8}-\dfrac{7}{2}-\dfrac{7}{2}+\dfrac{7}{6}+\dfrac{7}{6}-\dfrac{17}{6}-\dfrac{17}{6}+\dfrac{13}{6}+\dfrac{13}{6}-\dfrac{11}{6}-\dfrac{11}{6}+\dfrac{25}{6}+\dfrac{25}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \right)}^{=0}}{M+M+M+M}

X_c = \dfrac{\dfrac{M}{4}\cdot 0}{4M}=0

Ou seja, os blocos permanecem perfeitamente equilibrados sobre a quina da mesa.

Agora note que, com apenas 4 blocos, o último dos 4 já está completamente fora da mesa. Ou seja, para um objeto qualquer, de comprimento k, uma pilha de 4 objetos cobre uma distância maior do que k a direita da mesa. Usando uma calculadora, e fazendo as contas, podemos descobrir que, para qualquer objeto temos:

\sum\limits_{i=1}^{31}\dfrac{1}{2\cdot i}\approx 2,0136

Ou seja, com 31 objetos empilhados desta forma, teremos uma pilha que cobre uma distância maior que 2k a direita da mesa.

\sum\limits_{i=1}^{227}\dfrac{1}{2\cdot i}\approx 3,0021

Com 227 objetos, nossa pilha terá uma distância maior que 3k a direita da mesa. E assim por diante, de forma que esta torre pode se inclinar para a direita o quanto nós quisermos, sem nunca cair. Isto é possível por que a soma que dita as proporções que estamos usando:

1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\cdots

Cresce infinitamente. Isso é o mesmo que dizer que a série harmônica diverge para +\infty

OBS: Note que a todo o momento, não consideramos o tamanho dos objetos, nem o peso deles. Tudo que importa é que os objetos sejam idênticos e uniformes.

Referências: