Em um dado ponto das nossas vidas, enquanto estudamos os fundamentos mais básicos da matemática, somos apresentados a uma nova classe de números chamados de Números Irracionais. Você se lembra o que são números irracionais?
Os números que já conhecemos, chamados de números racionais, são os números que podem ser escritos da forma:
Onde e
são números inteiros e
. Se esses são os números racionais, os números irracionais (ou não-racionais) são os números que não podem ser escritos da forma descrita acima. Isso é no mínimo curioso, pois o conjunto
dos números inteiros é infinito, assim como é o conjunto
dos números racionais. Então, se existem infinitos números inteiros e infinitos números racionais, será que existe mesmo um número que não seja racional?
Vamos tomar como exemplo o número . Reza a lenda que
é um número irracional, porém não temos certeza disso no momento. Felizmente, existe uma forma de verificar se
é mesmo irracional, e essa forma é: Duvidando!
Veja, se não for irracional, então ele deve ser racional, e portanto, pode ser escrito como uma divisão de dois números inteiros. Então, vamos supor que:
, com
e
e
Como e
são inteiros quaisquer e
, podemos assumir que a fração
já está na sua forma reduzida, ou seja, não pode mais ser simplificada. Assim, como
, podemos multiplicar ambos os lados da equação por
e obter:
E elevando ambos os lados ao quadrado obtemos:
Isso nos diz algo muito importante: é múltiplo de dois, ou seja,
é par. Mas se
é par, temos que
também deve ser par. Logo, temos que
para algum
. Substituindo isso na equação acima, temos:
Ou seja, temos que também é par, e usando o mesmo raciocínio de antes, temos que
também é par. Logo temos que
, para algum
. Obs: note que como
, então
e, portanto
. Agora, se substituirmos os novos valores de
e
encontrados na fração inicial, temos que:
Mas veja que esta fração pode claramente ser simplificada se dividirmos o numerador e o denominador por 2. Porém, nossa hipótese inicial era de que poderia ser escrito em forma de uma fração irredutível. Chegamos então em uma contradição. Isso nos diz que nossa hipótese inicial deve estar errada e, portanto,
.