Números Irracionais Existem?

Em um dado ponto das nossas vidas, enquanto estudamos os fundamentos mais básicos da matemática, somos apresentados a uma nova classe de números chamados de Números Irracionais. Você se lembra o que são números irracionais?

Os números que já conhecemos, chamados de números racionais, são os números k que podem ser escritos da forma:

k=\dfrac{a}{b}

Onde a e b são números inteiros e b\neq 0. Se esses são os números racionais, os números irracionais (ou não-racionais) são os números que não podem ser escritos da forma descrita acima. Isso é no mínimo curioso, pois o conjunto \mathbb{Z} dos números inteiros é infinito, assim como é o conjunto \mathbb{Q} dos números racionais. Então, se existem infinitos números inteiros e infinitos números racionais, será que existe mesmo um número que não seja racional?

Vamos tomar como exemplo o número \sqrt{2}. Reza a lenda que \sqrt{2} é um número irracional, porém não temos certeza disso no momento. Felizmente, existe uma forma de verificar se \sqrt{2} é mesmo irracional, e essa forma é: Duvidando!

Veja, se \sqrt{2} não for irracional, então ele deve ser racional, e portanto, pode ser escrito como uma divisão de dois números inteiros. Então, vamos supor que:

\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}, com a e b\in\mathbb{Z} e b\neq 0

Como a e b são inteiros quaisquer e b\neq 0, podemos assumir que a fração \dfrac{a}{b} já está na sua forma reduzida, ou seja, não pode mais ser simplificada. Assim, como b\neq 0, podemos multiplicar ambos os lados da equação por b e obter:

b\cdot\sqrt{2}=a

E elevando ambos os lados ao quadrado obtemos:

2b^2=a^2

Isso nos diz algo muito importante: a^2 é múltiplo de dois, ou seja, a^2 é par. Mas se a^2 é par, temos que a também deve ser par. Logo, temos que a=2k para algum k\in\mathbb{Z}. Substituindo isso na equação acima, temos:

2b^2=(2k)^2

2b^2=4k^2

b^2=2k^2

Ou seja, temos que b^2 também é par, e usando o mesmo raciocínio de antes, temos que b também é par. Logo temos que b=2c, para algum c\in\mathbb{Z}. Obs: note que como b\neq 0, então 2c\neq 0 e, portanto c\neq 0. Agora, se substituirmos os novos valores de a e b encontrados na fração inicial, temos que:

\sqrt{2}=\dfrac{2k}{2c}

Mas veja que esta fração pode claramente ser simplificada se dividirmos o numerador e o denominador por 2. Porém, nossa hipótese inicial era de que \sqrt{2} poderia ser escrito em forma de uma fração irredutível. Chegamos então em uma contradição. Isso nos diz que nossa hipótese inicial deve estar errada e, portanto, \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}.