Hotel de Hilbert

Imagine a seguinte situação: Um hotel imenso, com um número infinito (enumerável) de quartos, onde absolutamente todos os quartos já estão ocupados. Agora imagine que o um novo hospede chega ao hotel. Será possível conseguir um quarto para este novo hospede sem expulsar ninguém que já estava hospedado no hotel?

Caso 1: A situação é a mesma descrita acima. O hotel tem infinitos quartos, todos lotados, mas agora uma nova pessoa chega e pede um quarto. Como então podemos liberar um quarto para o novo hospede sem expulsar ninguém? Bem, ao invés de expulsar hospedes, nós podemos realocá-los, da seguinte forma:

1\rightarrow 2
2\rightarrow 3
3\rightarrow 4
\cdot
\cdot
\cdot
n\rightarrow n+1

Perceba que essa troca de quartos nunca vai acabar, mas não tem problema pois o hotel tem infinitos quartos. E desta forma, o quarto de número um está agora vazio e pode ser usado pelo novo hóspede do hotel.

Caso 2: Imagine agora que chega ao hotel um ônibus com um número infinito (enumerável) de passageiros e todos eles querem se hospedar no hotel. Bem, o hotel tem infinitos quartos, porém, todos estão lotados. Veja que a estratégia anterior não vai funcionar aqui, pois usando a estratégia do caso 1, só é possível liberar um número finito de quartos. A estratégia aqui também será de realocar os quartos, porém de uma forma diferente:

1\rightarrow 2
2\rightarrow 4
3\rightarrow 6
\cdot
\cdot
\cdot
n\rightarrow 2n

Essa troca de quartos também nunca acabará, mas tudo bem, pois os quartos também nunca acabam. Perceba agora que conseguimos deixar vagos todos os quartos com números ímpares. Como existem infinitos números ímpares, todos os passageiros do ônibus podem agora se hospedar no hotel.

Caso 3: Imagine agora que chega ao hotel um número infinito (enumerável) de ônibus tais como o do caso anterior. Agora todas essas pessoas querem se hospedar neste hotel. Novamente, nenhuma das estratégias adotadas nos casos 1 e 2 será útil agora. Mas podemos nos lembrar de nossas aulas de matemática e perceber que podemos realocar os hóspedes da seguinte forma:

1\rightarrow 2^1
2\rightarrow 2^2
3\rightarrow 2^3
\cdot
\cdot
\cdot
n\rightarrow 2^n

Desta forma, realocamos todos os hóspedes que já estavam hospedados no hotel e os colocamos em quartos cujos números são potências de dois. Agora nós podemos hospedar os passageiros de cada ônibus da seguinte forma:

Ônibus 1Ônibus 2Ônibus 3\cdot\cdot\cdot
1\rightarrow 3^11\rightarrow 5^11\rightarrow 7^1\cdot\cdot\cdot
2\rightarrow 3^22\rightarrow 5^22\rightarrow 7^2\cdot\cdot\cdot
3\rightarrow 3^33\rightarrow 5^33\rightarrow 7^3\cdot\cdot\cdot
\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot
\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot
\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot
n\rightarrow 3^nn\rightarrow 5^nn\rightarrow 7^n\cdot\cdot\cdot

Ou seja, nós decidimos alocar os passageiros de cada ônibus em quartos cujos números são potências de números primos, por exemplo: Os passageiros do ônibus um ficaram nos quartos 3, 9, 27, os passageiros do ônibus dois ficaram nos quartos 5, 25, 125, e assim por diante.

Mas como nós podemos saber que isso vai realmente funcionar? Na verdade, o Teorema Fundamental da Aritmética nos garante que cada número natural n>1 pode ser decomposto de forma única em fatores primos. Como nós optamos por por utilizar apenas quartos cujos números são potências de números primos, este teorema nos garante que nunca haverá dois hóspedes no mesmo quarto.

Mas veja que curioso: Os hóspedes do hotel ficaram em quartos cujos números são da forma 2^n. Os passageiros do primeiro ônibus ficaram em quartos cujos números são da forma 3^n, os do segundo ônibus ocuparam quartos cujos números são da forma 5^n, e assim por diante. Porém, potências de primos não são suficientes para preencher todos os quartos do hotel. O quarto de número 6 por exemplo ficará vazio, pois 6=2\cdot 3, ou seja, 6 não pode ser escrito como potência de nenhum primo, logo nem os hóspedes do hotel, nem os passageiros de nenhum dos ônibus se hospedarão nele! O mesmo acontecerá com os quartos de número:

10=2\cdot 5

12=2\cdot 2\cdot 3

E com todos os outros infinitos números que não podem ser escritos como potências de números primos. Isto nos leva a uma conclusão bizarra, de que começamos com um hotel com infinitos quartos, todos lotados, conseguimos alocar infinitos grupos, cada um com infinitas pessoas neste hotel sem expulsar ninguém e acabamos com um número infinito de quartos vazios!

Referências: