Dobrando Papel

Aviso: A situação descrita abaixo é uma simplificação com intenção de explorar situações estranhas e não um modelo completo da realidade.

Muitas pessoas já ouviram a lenda que diz que é impossível dobrar uma folha de papel ao meio mais do que sete vezes, mas será que isso é realmente verdade? Não! O recorde mundial de dobradura de papel (na data em que isso foi escrito) é de 12 vezes. Mas, por que estamos falando de dobrar papel numa discussão sobre matemática? Veja só: Vamos supor, que uma folha de papel tenha 1 mm de espessura. Se dobrarmos essa folha uma vez, ela terá agora 2 mm de espessura. Se dobrarmos essa folha uma segunda vez, ela terá agora 4 mm de espessura, ou seja, a cada vez que dobramos uma folha, sua espessura dobra. Podemos dizer então, que a espessura de uma folha de papel, em milímetros é dada pela equação:

E_{mm}=2^n mm

Onde E_{mm} é a espessura da folha em milímetros e n é o número de vezes que a folha foi dobrada. Com a ajuda de uma calculadora, vamos ver qual a espessura de uma folha de papel, se conseguirmos dobrá-la 10 vezes.

E_{mm}=2^{10}=1024mm

Ou seja, pouco mais de 1 metro! E se continuarmos dobrando? Bom, primeiramente, veja que não é mais interessante medir a espessura em milímetros, pois a espessura da folha vai crescer cada vez mais. Podemos modificar nossa equação de modo que ela nos forneça a espessura da folha de papel em quilômetros da seguinte forma:

E_{km}=2^n\cdot 10^{-6}km

OK. Agora podemos continuar dobrando. O que acontece se dobrarmos a mesma folha de papel 20 vezes?

E_{km}=2^{20}\cdot 10^{-6}=1,048576 km

Wow! Dobrar uma folha de papel ao meio 20 vezes faz com que essa folha tenha mais de 1 km de espessura! Mais incrível ainda, perceba que em nenhum momento nós falamos aqui o tamanho da folha. Ou seja, a espessura da folha quando nós dobramos, não depende do tamanho da folha!

Mas, até onde vai isso? No mundo da matemática, até onde nós quisermos! Veja o que acontece se dobrarmos uma folha de papel 47 vezes:

E_{km}=2^{47}\cdot 10^{-6}\approx 140.000.000 km

Para podermos comparar, e dar sentido a um número tão grande, veja que a distância da terra até o sol é de 149.600.000 km. Ou seja, SE você conseguir, de alguma forma dobrar um papel 47 vezes ao meio, o papel será tão alto, que praticamente chegaria no sol!

Mas veja que nós até agora não falamos das dificuldades de se dobrar um papel muitas vezes. Por que então é tão difícil dobrar um papel tantas vezes? Primeiramente, é importante dizer mais uma vez que neste raciocínio não foram considerados diversos fatores físicos que, na vida real dificultam este procedimento. Além disso, perceba que, quando dobramos o papel, sua espessura dobra, porém, sua largura diminui pela metade!

A diminuição da largura da folha (que tem inicialmente 30cm de largura) pode ser descrita pela seguinte equação:

L_{cm}=2^{-n}\cdot 30 cm

Para se ter ideia de por que isso causa uma dificuldade, vamos calcular a largura da folha de papel após 5 dobras:

L_{mm}=2^{-5}\cdot 30=0,93cm

A largura da folha depois de 5 dobras já diminuiu bastante. Para continuar dobrando nossa folha de papel, vamos ajustar a nossa equação para que ela expresse o resultado em picometros, da seguinte forma:

L_{pm}=2^{-n}\cdot 30\cdot 10^{-10}

Vamos ver agora o que acontece se dobrarmos o papel 31 vezes (lembre-se de que para chegar próximo do sol é necessário dobrar o papel 47 vezes):

L_{pm}=2^{-31}\cdot 30\cdot 10^{-10}\approx 139pm

Mais uma vez, para tentar comparar, e dar sentido a um número tão pequeno, veja que o tamanho de um átomo de carbono (que compõe grande parte do papel que estamos dobrando) é de aproximadamente 170 pm, ou seja, se dobrarmos um papel ao meio 31 vezes, a largura do papel será menor do que 1 átomo.

Referências: