Divisão por Zero

Em Matemática, uma das regras mais famosas é a proibição absoluta da divisão por zero. Porém qual a razão disso? A divisão por zero gera uma série de problemas dos quais listamos dois.

  • Faz sentido dividir por zero?

Sejam a e b dois números reais. Agora tome o número real c=\dfrac{a}{b}. SE fosse possível dividir por zero, tomando b=0, teríamos algo da seguinte forma:

c=\dfrac{a}{0}

Ou, de forma equivalente:

0\cdot c=a

Agora, vamos analisar os casos: 1) Se a=0, então existem infinitos valores de c que satisfazem a expressão 0\cdot c=0, pois qualquer número real multiplicado por zero resulta em zero. Isso é um problema pois, para quaisquer números reais x, y, z, se y\neq 0 temos que só existe um número real z tal que z=\dfrac{x}{y}. Ou seja, não é interessante que a divisão por zero tenha infinitas soluções enquanto a divisão por qualquer outro denominador real tenha apenas uma solução. 2) Se a\neq 0, então não existe nenhuma solução para a equação 0\cdot c=a, e por consequência a divisão por zero não tem solução. Em resumo SE fosse possível dividir por zero, esta seria uma operação que, ou nos dá infinitas soluções (então basicamente a resposta pode ser o que você quiser que seja), ou nenhuma solução. Nenhum dos casos é útil para nós.

  • E se mesmo assim, nós tentarmos?

Já sabemos que não faz sentido tentar dividir um número real qualquer por zero. Porém isso não é suficiente para matar nossa curiosidade. Então o que será que acontece se eu tentar dividir um número qualquer não por zero, mas por valores bem próximos a ele? Veja o caso a seguir:

Vamos olhar para a função y=\dfrac{1}{x}. Veja que podemos usar esta função pois o numerador pode ser qualquer número real diferente de zero (em particular, 1) e no denominador, vamos aproximar os valores da variável x de zero e observar o comportamento da função.

Abaixo construímos uma tabela com os valores do denominador x se aproximando de zero, e os valores de y, que é o resultado da operação \dfrac{1}{x}:

xy
50,2
20,5
0,52
0,25
0,0520

Note que, quando temos o denominador x=5 (relativamente longe de zero) o valor de y é bem pequeno. Porém, conforme vamos diminuindo os valores de x e nos aproximando de zero, os valores de y aumentam rapidamente. Vamos ver agora o que acontece se tentarmos nos aproximar do zero pelo lado esquerdo, usando os números negativos:

xy
-5-0,2
-2-0,5
-0,5-2
-0,2-5
-0,05-20

Para a nossa surpresa, quando tentamos nos aproximar de x usando os números negativos, os valores de y diminuiram tão rapidamente quanto eles cresceram no lado positivo da reta real. Mas o que isso significa? Veja abaixo o gráfico da função y=\dfrac{1}{x}:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

O gráfico acima ilustra o que as tabelas anteriores já nos diziam. Quando tentamos aproximar x de zero pela direita, os valores de y crescem rapidamente. Quando tentamos fazer o mesmo pela esquerda, os valores de y decrescem igualmente rápido. E no ponto zero? É impossível saber, pois o gráfico da função jamais toca o eixo y.