A Matemática do Par ou Ímpar

O jogo de Par ou Ímpar é muito famoso e praticamente todas as pessoas já o jogaram ao menos uma vez (provavelmente na tentativa de decidir alguma coisa). Mas como é possível decidir algo baseado em um jogo de sorte sem ao menos questioná-lo? Será que este jogo é realmente justo? Ou será que a cada jogo de Par ou Ímpar um dos jogadores está levando vantagem sobre o outro?

Par ou Ímpar

Como o jogo funciona? Jogado entre 2 pessoas, primeiramente os desafiantes decidem qual deles será o Par e qual será o Ímpar. Ambas as pessoas devem então mostrar as mãos ao mesmo tempo e neste momento somam se os dedos que cada uma optou por jogar. Se o resultado da soma for um número par, a pessoa que escolheu par antes de o jogo começar vence. Caso o contrário, a pessoa que escolheu Ímpar vence. Parece simples, mas será que é justo?

Antes ainda de avaliar esta afirmação vamos nos convencer de um fato: A soma de 2 números pares sempre será um número par. E a soma de 2 números ímpares também sempre será um número par. Por último, a soma de um número par com um número ímpar sempre será ímpar.

Avaliando os Resultados

Vamos somar dois números pares quaisquer a e b. Se ambos são pares, então a=2n e b=2m, para m e n inteiros. Assim, a soma dos dois fica:

a+b=2m+2n=2(m+n)

Que claramente resulta em um número múltiplo de 2, ou seja par. Por tanto a soma de dois números pares resulta num número par. Vamos então somar agora dois números c e d, tais que sejam ambos ímpares. Primeiro, note que se ambos são ímpares, temos que: c=2r+1 e d=2s+1, para r e s inteiros. A soma dos dois fica:

c+d=(2r+1)+(2s+1)=2r+2s+2=2(r+s+1)

Que claramente resulta em um número par também, pois é múltiplo de dois. Por último, vamos somar agora um número par a e um número ímpar c. A soma dos dois então fica:

a+c=2n+(2r+1)=2n+2r+1=2(n+r)+1

Que desta vez não é múltiplo de dois, e portanto, é ímpar. Então em resumo, temos:

Par+Par=Par

Impar+Impar=Par

Par+Impar=Impar

Estranho. Olhando dessa forma o jogo não parece mais tão justo.

Cálculo da Probabilidade

Com um entendimento mais profundo do jogo, podemos verificar se ele é justo ou não.  Vamos supor um jogo de Par ou Ímpar entre duas pessoas e, para facilitar, vamos supor que cada uma delas só pode jogar de zero a cinco dedos. Os resultados possíveis do jogo são:

Par Vence
(0,0)(0,2)(0,4)
(1,1)(1,3)(1,5)
(2,0)(2,2)(2,4)
(3,1)(3,3)(3,5)
(4,0)(4,2)(4,4)
(5,1)(5,3)(5,5)
Ímpar Vence
(0,1)(0,3)(0,5)
(1,0)(1,2)(1,4)
(2,1)(2,3)(2,5)
(3,0)(3,2)(3,4)
(4,1)(4,3)(4,5)
(5,0)(5,2)(5,4)

Se nós simplesmente contarmos todos os elementos de cada uma das tabelas acima, percebemos que existem 18 combinações onde par vence e 18 combinações onde ímpar vence. Isso pode convencer muita gente de que o jogo é justo, porém, nós vamos além.

Se lembrarmos da teoria básica de probabilidades, ela nos diz que: A probabilidade de um evento A ocorra, será igual a o número de vezes que A ocorre dividido pelo número de eventos totais, ou seja:

P(A)=\dfrac{n(A)}{n(E)}

Onde P(A) é a probabilidade do evento A ocorrer, n(A) é o número de vezes que A ocorre e n(E) é o número de eventos totais. Usando os dados das tabelas acima temos:

n(Par Vence)=18

n(Impar Vence)=18

n(Eventos Totais)=18=18=36

Logo:

P(ParVencer)=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}

P(ImparVencer)=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}

Então o resultado da teoria das probabilidades bate com a nossa contagem inicial e parece que de fato o jogo é justo. Mas então, por que o jogo não parecia justo no começo? Na verdade, isso é culpa nossa. O que acontece é que nós escondemos, de propósito, um dos casos. Veja como a vitória do ímpar pode acontecer:

Impar+Par=Impar

Par+Impar=Impar

Isso significa que, no jogo de par ou ímpar, a escolha de cada jogador é relevante, e por isso temos quatro casos e não três.

Influência da Sorte (ou Azar)

Mas e como a sorte (ou azar) pode influenciar no jogo de par ou ímpar? Bom, tecnicamente, é possível jogar par ou ímpar 100 vezes e ter 100 vitórias consecutivas do jogador “par”, porém é altamente improvável. Para analisar como a sorte pode influenciar no jogo de Par ou Ímpar, sugerimos um experimento. Temos dois eventos: 1) Vitória do Par e 2) Vitória do Ímpar. Escolha um evento para analisar e atribua a esse evento o valor um. Ao mesmo tempo atribua ao outro evento o valor zero. Agora, faça jogos sucessivos de Par ou Ímpar, anote os resultados, some os valores atribuídos a cada vitória e divida este número pelo número de jogos totais até o momento. Isto mostrará, a cada jogo, a proporção vezes que o evento escolhido aconteceu. veja uma simulação deste experimento:

 Vamos analisar a proporção de vitórias do jogador que escolhe “Par”.

Jogo 1Vitória Ímpar\dfrac{0}{1}0%
Jogo 2Vitória Ímpar\dfrac{0}{2}0%
Jogo 3Vitória Par\dfrac{1}{3}0.33%
Jogo 4Vitória Par\dfrac{2}{4}0.5%
Jogo 5Vitória Ímpar\dfrac{2}{5}0.4%
Jogo 6Vitória Ímpar\dfrac{2}{6}0.33%
Jogo 7Vitória Ímpar\dfrac{2}{7}0.28%
Jogo 8Vitória Par\dfrac{3}{8}0.37%
Jogo 9Vitória Par\dfrac{4}{9}0.44%
Jogo 10Vitória Par\dfrac{5}{10}0.5%
Jogo 11Vitória Par\dfrac{6}{11}0.54%
Jogo 12Vitória Ímpar\dfrac{6}{12}0.5%
Jogo 13Vitória Par\dfrac{7}{13}0.53%
Jogo 14Vitória Par\dfrac{8}{14}0.57%
Jogo 15Vitória Par\dfrac{9}{15}0.6%
Jogo 16Vitória Ímpar\dfrac{9}{16}0.56%
Jogo 17Vitória Ímpar\dfrac{9}{17}0.52%
Jogo 18Vitória Ímpar\dfrac{9}{18}0.5%
Jogo 19Vitória Ímpar\dfrac{9}{19}0.47%
Jogo 20Vitória Ímpar\dfrac{9}{20}0.45%

Ou, graficamente temos:

Logo, nesta simulação, o jogador que escolheu “Par” teve 45% de vitórias. Na verdade, de acordo com a Lei dos Grandes Números, a média amostral se aproxima do valor esperado quando o número de repetições do experimento cresce. Isso significa que, quanto mais jogos nós jogarmos mais essa porcentagem se aproximará de 50%. Ou seja, a sorte pode até influenciar em um número pequeno de jogos, porém, quando mais jogos jogarmos, menos a sorte influenciará o resultado.