O jogo de Par ou Ímpar é muito famoso e praticamente todas as pessoas já o jogaram ao menos uma vez (provavelmente na tentativa de decidir alguma coisa). Mas como é possível decidir algo baseado em um jogo de sorte sem ao menos questioná-lo? Será que este jogo é realmente justo? Ou será que a cada jogo de Par ou Ímpar um dos jogadores está levando vantagem sobre o outro?
Par ou Ímpar
Como o jogo funciona? Jogado entre 2 pessoas, primeiramente os desafiantes decidem qual deles será o Par e qual será o Ímpar. Ambas as pessoas devem então mostrar as mãos ao mesmo tempo e neste momento somam se os dedos que cada uma optou por jogar. Se o resultado da soma for um número par, a pessoa que escolheu par antes de o jogo começar vence. Caso o contrário, a pessoa que escolheu Ímpar vence. Parece simples, mas será que é justo?
Antes ainda de avaliar esta afirmação vamos nos convencer de um fato: A soma de 2 números pares sempre será um número par. E a soma de 2 números ímpares também sempre será um número par. Por último, a soma de um número par com um número ímpar sempre será ímpar.
Avaliando os Resultados
Vamos somar dois números pares quaisquer e
. Se ambos são pares, então
e
, para
e
inteiros. Assim, a soma dos dois fica:
Que claramente resulta em um número múltiplo de 2, ou seja par. Por tanto a soma de dois números pares resulta num número par. Vamos então somar agora dois números e
, tais que sejam ambos ímpares. Primeiro, note que se ambos são ímpares, temos que:
e
, para
e
inteiros. A soma dos dois fica:
Que claramente resulta em um número par também, pois é múltiplo de dois. Por último, vamos somar agora um número par e um número ímpar
. A soma dos dois então fica:
Que desta vez não é múltiplo de dois, e portanto, é ímpar. Então em resumo, temos:
Estranho. Olhando dessa forma o jogo não parece mais tão justo.
Cálculo da Probabilidade
Com um entendimento mais profundo do jogo, podemos verificar se ele é justo ou não. Vamos supor um jogo de Par ou Ímpar entre duas pessoas e, para facilitar, vamos supor que cada uma delas só pode jogar de zero a cinco dedos. Os resultados possíveis do jogo são:
Par Vence | ||
(0,0) | (0,2) | (0,4) |
(1,1) | (1,3) | (1,5) |
(2,0) | (2,2) | (2,4) |
(3,1) | (3,3) | (3,5) |
(4,0) | (4,2) | (4,4) |
(5,1) | (5,3) | (5,5) |
Ímpar Vence | ||
(0,1) | (0,3) | (0,5) |
(1,0) | (1,2) | (1,4) |
(2,1) | (2,3) | (2,5) |
(3,0) | (3,2) | (3,4) |
(4,1) | (4,3) | (4,5) |
(5,0) | (5,2) | (5,4) |
Se nós simplesmente contarmos todos os elementos de cada uma das tabelas acima, percebemos que existem 18 combinações onde par vence e 18 combinações onde ímpar vence. Isso pode convencer muita gente de que o jogo é justo, porém, nós vamos além.
Se lembrarmos da teoria básica de probabilidades, ela nos diz que: A probabilidade de um evento ocorra, será igual a o número de vezes que
ocorre dividido pelo número de eventos totais, ou seja:
Onde é a probabilidade do evento
ocorrer,
é o número de vezes que
ocorre e
é o número de eventos totais. Usando os dados das tabelas acima temos:
Logo:
Então o resultado da teoria das probabilidades bate com a nossa contagem inicial e parece que de fato o jogo é justo. Mas então, por que o jogo não parecia justo no começo? Na verdade, isso é culpa nossa. O que acontece é que nós escondemos, de propósito, um dos casos. Veja como a vitória do ímpar pode acontecer:
Isso significa que, no jogo de par ou ímpar, a escolha de cada jogador é relevante, e por isso temos quatro casos e não três.
Influência da Sorte (ou Azar)
Mas e como a sorte (ou azar) pode influenciar no jogo de par ou ímpar? Bom, tecnicamente, é possível jogar par ou ímpar 100 vezes e ter 100 vitórias consecutivas do jogador “par”, porém é altamente improvável. Para analisar como a sorte pode influenciar no jogo de Par ou Ímpar, sugerimos um experimento. Temos dois eventos: 1) Vitória do Par e 2) Vitória do Ímpar. Escolha um evento para analisar e atribua a esse evento o valor um. Ao mesmo tempo atribua ao outro evento o valor zero. Agora, faça jogos sucessivos de Par ou Ímpar, anote os resultados, some os valores atribuídos a cada vitória e divida este número pelo número de jogos totais até o momento. Isto mostrará, a cada jogo, a proporção vezes que o evento escolhido aconteceu. veja uma simulação deste experimento:
Vamos analisar a proporção de vitórias do jogador que escolhe “Par”.
Jogo 1 | Vitória Ímpar | 0% | |
Jogo 2 | Vitória Ímpar | 0% | |
Jogo 3 | Vitória Par | 0.33% | |
Jogo 4 | Vitória Par | 0.5% | |
Jogo 5 | Vitória Ímpar | 0.4% | |
Jogo 6 | Vitória Ímpar | 0.33% | |
Jogo 7 | Vitória Ímpar | 0.28% | |
Jogo 8 | Vitória Par | 0.37% | |
Jogo 9 | Vitória Par | 0.44% | |
Jogo 10 | Vitória Par | 0.5% | |
Jogo 11 | Vitória Par | 0.54% | |
Jogo 12 | Vitória Ímpar | 0.5% | |
Jogo 13 | Vitória Par | 0.53% | |
Jogo 14 | Vitória Par | 0.57% | |
Jogo 15 | Vitória Par | 0.6% | |
Jogo 16 | Vitória Ímpar | 0.56% | |
Jogo 17 | Vitória Ímpar | 0.52% | |
Jogo 18 | Vitória Ímpar | 0.5% | |
Jogo 19 | Vitória Ímpar | 0.47% | |
Jogo 20 | Vitória Ímpar | 0.45% |
Ou, graficamente temos:

Logo, nesta simulação, o jogador que escolheu “Par” teve 45% de vitórias. Na verdade, de acordo com a Lei dos Grandes Números, a média amostral se aproxima do valor esperado quando o número de repetições do experimento cresce. Isso significa que, quanto mais jogos nós jogarmos mais essa porcentagem se aproximará de 50%. Ou seja, a sorte pode até influenciar em um número pequeno de jogos, porém, quando mais jogos jogarmos, menos a sorte influenciará o resultado.