Escalonamento

Escalonamento é uma estratégia para resolver sistemas lineares com mais de duas equações e duas incógnitas. Esta estratégia consiste em transformar o sistema original em um sistema triangular equivalente. Veja abaixo um exemplo do nosso objetivo com o método do escalonamento:

Exemplo: Queremos transformar este sistema:

\left\{\begin{array}{l}2x+3y+4z=10 \hspace{25pt} (1 \ eq.) \\ x+2y+z=8 \hspace{42pt} (2 \ eq.) \\ 3x+4y+z=4 \hspace{37pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.

Em um sistema como:

\left\{\begin{array}{l}3x+\dfrac{9}{2}y+6z=15 \hspace{25pt} (1 \ eq.)\vspace{6pt} \\ 0x+\dfrac{1}{2}y-z=3 \hspace{37pt} (2 \ eq.)\vspace{6pt} \\ 0x+0y-6z=-8 \hspace{25pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.

O segundo sistema pode parecer mais complicado por conter frações, números positivos e negativos, tudo misturado. Mas não se engane, o segundo sistema é mais fácil de se trabalhar. Veja a (3 \ eq.):

-6z=-8

Veja que desta equação, podemos facilmente encontrar o valor de z. Depois, podemos substituir o valor de z na (2 \ eq.) e determinar o valor de y. Por último, podemos substituir os valores de x e y na (1 \ eq.) para determinar o valor de x.

No caso geral, a ideia é transformar um sistema da forma:

\left\{\begin{array}{l} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots a_{1,n}x_n=k_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots a_{2,n}x_n=k_2 \\ \hspace{85pt} \vdots \\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\cdots+a_{n,n}x_n=k_n  \end{array}\right.

No sistema triangular equivalente:

\left\{\begin{array}{l} b_{1,1}x_1+b_{1,2}x_2+\cdots b_{1,n}x_n=c_1 \\ 0x_1+b_{2,2}x_2+\cdots b_{2,n}x_n=c_2 \\ \hspace{85pt} \vdots \\ 0x_1+0x_2+\cdots+b_{n,n}x_n=c_n \end{array}\right.

E resolver de baixo para cima, exatamente como exemplificado no exemplo inicial.

IMPORTANTE: O método do escalonamento só oferece soluções únicas para as incógnitas caso o determinante da matriz dos coeficientes do sistema seja diferente de zero.

Vamos aprender agora como transformar o sistema original mostrado no inicio, no sistema escalonado e depois, resolve-lo. A ideia é multiplicar as equações do sistema por uma constante de modo a igualar o coeficiente da variável x em duas equações, e depois subtrair uma equação da outra, zerando assim o coeficiente da variável x em uma das equações. Depois, o mesmo processo é feito com a variável y. Vamos ver como isso funciona passo a passo, a partir do sistema mostrado acima:

Exemplo: Vamos resolver este sistema através do método do escalonamento.

\left\{\begin{array}{l}2x+3y+4z=10 \hspace{25pt} (1 \ eq.) \\ x+2y+z=8 \hspace{42pt} (2 \ eq.) \\ 3x+4y+z=4 \hspace{37pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.

Primeiro, vamos dividir a primeira equação por 2, para igualar o coeficiente de x da primeira equação com o coeficiente de x da segunda equação. Temos então o sistema equivalente:

\left\{\begin{array}{l}x+\dfrac{3}{2}y+2z=5 \hspace{32pt} (1 \ eq.) \vspace{6pt} \\ x+2y+z=8 \hspace{42pt} (2 \ eq.) \\ 3x+4y+z=4 \hspace{37pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.

Agora faremos (2 \ eq.) - (1 \ eq.) e obtemos o seguinte sistema equivalente:

\left\{\begin{array}{l}x+\dfrac{3}{2}y+2z=5 \hspace{32pt} (1 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 0x+\dfrac{1}{2}y-z=3 \hspace{36pt} (2 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 3x+4y+z=4 \hspace{37pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.

Agora vamos multiplicar (1 \ eq.) por 3, para igualar o coeficiente de x da primeira e da terceira equação. Temos então o seguinte sistema equivalente:

\left\{\begin{array}{l}3x+\dfrac{9}{2}y+6z=15 \hspace{32pt} (1 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 0x+\dfrac{1}{2}y-z=3 \hspace{43pt} (2 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 3x+4y+z=4 \hspace{45pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.

Agora faremos (3 \ eq.)-(1 \ eq.) para zerar o coeficiente de x da terceira equação.

\left\{\begin{array}{l}3x+\dfrac{9}{2}y+6z=15 \hspace{32pt} (1 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 0x+\dfrac{1}{2}y-z=3 \hspace{43pt} (2 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 0x-\dfrac{1}{2}y-5z=-11 \hspace{22pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.

Veja que já conseguimos zerar os coeficientes das variáveis x da (2 \ eq.) e (3 \ eq.). Agora precisamos apenas zerar o coeficiente y da terceira equação. Para fazer isso, note que o coeficiente de y nas (2 \ eq.) e (3 \ eq.) são opostos. Ou seja, basta fazermos (3 \ eq.) + (2 \ eq.) para zerar o coeficiente da variável y da terceira equação. Assim temos o seguinte sistema equivalente:

\left\{\begin{array}{l}3x+\dfrac{9}{2}y+6z=15 \hspace{32pt} (1 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 0x+\dfrac{1}{2}y-z=3 \hspace{43pt} (2 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 0x+0y-6z=-8 \hspace{30pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.

Que é exatamente o sistema triangular mostrado no começo. Para resolver este sistema, faremos exatamente como o combinado e, olhando para a (3 \ eq.) temos que:

-6z=-8

z=\dfrac{4}{3}

Substituindo este valor na (2 \ eq.) temos:

\dfrac{1}{2}y-\underbrace{\dfrac{4}{3}}_{\text{z}}=3

y=\dfrac{26}{3}

Finalmente, substituindo os valores de y e z na (1 \ eq.) temos:

3x+\dfrac{9}{2}\cdot \underbrace{\dfrac{26}{3}}_{\text{y}}+6\cdot\underbrace{\dfrac{4}{3}}_{\text{z}}=15

x=-\dfrac{32}{3}

E portanto, o conjunto solução do sistema é S=\left\{x=-\dfrac{32}{3}, \  y=\dfrac{26}{3}, \ z=\dfrac{4}{3}\right\}

Referências: