Escalonamento é uma estratégia para resolver sistemas lineares com mais de duas equações e duas incógnitas. Esta estratégia consiste em transformar o sistema original em um sistema triangular equivalente. Veja abaixo um exemplo do nosso objetivo com o método do escalonamento:
Exemplo: Queremos transformar este sistema:
Em um sistema como:
O segundo sistema pode parecer mais complicado por conter frações, números positivos e negativos, tudo misturado. Mas não se engane, o segundo sistema é mais fácil de se trabalhar. Veja a :
Veja que desta equação, podemos facilmente encontrar o valor de . Depois, podemos substituir o valor de
na
e determinar o valor de
. Por último, podemos substituir os valores de
e
na
para determinar o valor de
.
No caso geral, a ideia é transformar um sistema da forma:
No sistema triangular equivalente:
E resolver de baixo para cima, exatamente como exemplificado no exemplo inicial.
IMPORTANTE: O método do escalonamento só oferece soluções únicas para as incógnitas caso o determinante da matriz dos coeficientes do sistema seja diferente de zero.
Vamos aprender agora como transformar o sistema original mostrado no inicio, no sistema escalonado e depois, resolve-lo. A ideia é multiplicar as equações do sistema por uma constante de modo a igualar o coeficiente da variável em duas equações, e depois subtrair uma equação da outra, zerando assim o coeficiente da variável
em uma das equações. Depois, o mesmo processo é feito com a variável
. Vamos ver como isso funciona passo a passo, a partir do sistema mostrado acima:
Exemplo: Vamos resolver este sistema através do método do escalonamento.
Primeiro, vamos dividir a primeira equação por , para igualar o coeficiente de
da primeira equação com o coeficiente de
da segunda equação. Temos então o sistema equivalente:
Agora faremos e obtemos o seguinte sistema equivalente:
Agora vamos multiplicar por 3, para igualar o coeficiente de
da primeira e da terceira equação. Temos então o seguinte sistema equivalente:
Agora faremos para zerar o coeficiente de
da terceira equação.
Veja que já conseguimos zerar os coeficientes das variáveis da
e
. Agora precisamos apenas zerar o coeficiente
da terceira equação. Para fazer isso, note que o coeficiente de
nas
e
são opostos. Ou seja, basta fazermos
para zerar o coeficiente da variável
da terceira equação. Assim temos o seguinte sistema equivalente:
Que é exatamente o sistema triangular mostrado no começo. Para resolver este sistema, faremos exatamente como o combinado e, olhando para a temos que:
Substituindo este valor na temos:
Finalmente, substituindo os valores de e
na
temos:
E portanto, o conjunto solução do sistema é
Referências:
- IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
- Weisstein, Eric W. “Linear System of Equations.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/LinearSystemofEquations.html