Escalonamento

Escalonamento é uma estratégia para resolver sistemas lineares com mais de duas equações e duas incógnitas. Esta estratégia consiste em transformar o sistema original em um sistema triangular equivalente. Veja abaixo um exemplo do nosso objetivo com o método do escalonamento:

Exemplo: Queremos transformar este sistema:

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y+4z=10 \hspace{25pt} (1 \ eq.) \\ x+2y+z=8 \hspace{42pt} (2 \ eq.) \\ 3x+4y+z=4 \hspace{37pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.$

Em um sistema como:

$\left\{\begin{array}{l}3x+\dfrac{9}{2}y+6z=15 \hspace{25pt} (1 \ eq.)\vspace{6pt} \\ 0x+\dfrac{1}{2}y-z=3 \hspace{37pt} (2 \ eq.)\vspace{6pt} \\ 0x+0y-6z=-8 \hspace{25pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.$

O segundo sistema pode parecer mais complicado por conter frações, números positivos e negativos, tudo misturado. Mas não se engane, o segundo sistema é mais fácil de se trabalhar. Veja a $(3 \ eq.)$ :

$-6z=-8$

Veja que desta equação, podemos facilmente encontrar o valor de $z$ . Depois, podemos substituir o valor de $z$ na $(2 \ eq.)$ e determinar o valor de $y$ . Por último, podemos substituir os valores de $x$ e $y$ na $(1 \ eq.)$ para determinar o valor de $x$ .

No caso geral, a ideia é transformar um sistema da forma:

$\left\{\begin{array}{l} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots a_{1,n}x_n=k_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots a_{2,n}x_n=k_2 \\ \hspace{85pt} \vdots \\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\cdots+a_{n,n}x_n=k_n \end{array}\right.$

No sistema triangular equivalente:

$\left\{\begin{array}{l} b_{1,1}x_1+b_{1,2}x_2+\cdots b_{1,n}x_n=c_1 \\ 0x_1+b_{2,2}x_2+\cdots b_{2,n}x_n=c_2 \\ \hspace{85pt} \vdots \\ 0x_1+0x_2+\cdots+b_{n,n}x_n=c_n \end{array}\right.$

E resolver de baixo para cima, exatamente como exemplificado no exemplo inicial.

IMPORTANTE: O método do escalonamento só oferece soluções únicas para as incógnitas caso o determinante da matriz dos coeficientes do sistema seja diferente de zero.

Vamos aprender agora como transformar o sistema original mostrado no inicio, no sistema escalonado e depois, resolve-lo. A ideia é multiplicar as equações do sistema por uma constante de modo a igualar o coeficiente da variável $x$ em duas equações, e depois subtrair uma equação da outra, zerando assim o coeficiente da variável $x$ em uma das equações. Depois, o mesmo processo é feito com a variável $y$ . Vamos ver como isso funciona passo a passo, a partir do sistema mostrado acima:

Exemplo: Vamos resolver este sistema através do método do escalonamento.

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y+4z=10 \hspace{25pt} (1 \ eq.) \\ x+2y+z=8 \hspace{42pt} (2 \ eq.) \\ 3x+4y+z=4 \hspace{37pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.$

Primeiro, vamos dividir a primeira equação por $2$ , para igualar o coeficiente de $x$ da primeira equação com o coeficiente de $x$ da segunda equação. Temos então o sistema equivalente:

$\left\{\begin{array}{l}x+\dfrac{3}{2}y+2z=5 \hspace{32pt} (1 \ eq.) \vspace{6pt} \\ x+2y+z=8 \hspace{42pt} (2 \ eq.) \\ 3x+4y+z=4 \hspace{37pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.$

Agora faremos $(2 \ eq.) - (1 \ eq.)$ e obtemos o seguinte sistema equivalente:

$\left\{\begin{array}{l}x+\dfrac{3}{2}y+2z=5 \hspace{32pt} (1 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 0x+\dfrac{1}{2}y-z=3 \hspace{36pt} (2 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 3x+4y+z=4 \hspace{37pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.$

Agora vamos multiplicar $(1 \ eq.)$ por 3, para igualar o coeficiente de $x$ da primeira e da terceira equação. Temos então o seguinte sistema equivalente:

$\left\{\begin{array}{l}3x+\dfrac{9}{2}y+6z=15 \hspace{32pt} (1 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 0x+\dfrac{1}{2}y-z=3 \hspace{43pt} (2 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 3x+4y+z=4 \hspace{45pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.$

Agora faremos $(3 \ eq.)-(1 \ eq.)$ para zerar o coeficiente de $x$ da terceira equação.

$\left\{\begin{array}{l}3x+\dfrac{9}{2}y+6z=15 \hspace{32pt} (1 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 0x+\dfrac{1}{2}y-z=3 \hspace{43pt} (2 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 0x-\dfrac{1}{2}y-5z=-11 \hspace{22pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.$

Veja que já conseguimos zerar os coeficientes das variáveis $x$ da $(2 \ eq.)$ e $(3 \ eq.)$ . Agora precisamos apenas zerar o coeficiente $y$ da terceira equação. Para fazer isso, note que o coeficiente de $y$ nas $(2 \ eq.)$ e $(3 \ eq.)$ são opostos. Ou seja, basta fazermos $(3 \ eq.) + (2 \ eq.)$ para zerar o coeficiente da variável $y$ da terceira equação. Assim temos o seguinte sistema equivalente:

$\left\{\begin{array}{l}3x+\dfrac{9}{2}y+6z=15 \hspace{32pt} (1 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 0x+\dfrac{1}{2}y-z=3 \hspace{43pt} (2 \ eq.) \vspace{6pt} \\ 0x+0y-6z=-8 \hspace{30pt} (3 \ eq.) \end{array}\right.$

Que é exatamente o sistema triangular mostrado no começo. Para resolver este sistema, faremos exatamente como o combinado e, olhando para a $(3 \ eq.)$ temos que:

$-6z=-8$

$z=\dfrac{4}{3}$

Substituindo este valor na $(2 \ eq.)$ temos:

$\dfrac{1}{2}y-\underbrace{\dfrac{4}{3}}_{\text{z}}=3$

$y=\dfrac{26}{3}$

Finalmente, substituindo os valores de $y$ e $z$ na $(1 \ eq.)$ temos:

$3x+\dfrac{9}{2}\cdot \underbrace{\dfrac{26}{3}}_{\text{y}}+6\cdot\underbrace{\dfrac{4}{3}}_{\text{z}}=15$

$x=-\dfrac{32}{3}$

E portanto, o conjunto solução do sistema é $S=\left\{x=-\dfrac{32}{3}, \ y=\dfrac{26}{3}, \ z=\dfrac{4}{3}\right\}$

Referências:

IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
Weisstein, Eric W. “Linear System of Equations.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/LinearSystemofEquations.html

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Publicado por MeioPixel