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Sistemas Lineares

Aqui vamos falar de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas. Outros tipos de sistemas serão abordados em outro momento.

Um sistema de duas equações e duas incógnitas (ou sistema ) é um conjunto de duas equações lineares, e duas incógnitas que são, simultaneamente, incógnitas dessas duas equações.

Exemplo: Abaixo temos um sistema linear onde e são as incógnitas.

Exemplo: Abaixo temos um sistema linear onde e são as incógnitas.

A solução de um sistema linear são os valores de e que satisfazem simultaneamente ambas as equações

Para determinar o conjunto solução de um sistema linear, podemos usar dois métodos: o Método da Soma e o Método da Substituição. Ambos serão explicados a seguir.

Método da Soma:

O Método da Soma se baseia no fato de que podemos somar as equações do sistema para determinar sua solução.

Exemplo: Vamos resolver o seguinte sistema usando o Método da Soma:

Vamos fazer a soma :

Agora que temos o valor de , podemos substituí-lo em qualquer uma das equações e obter o valor de :

Logo o conjunto solução deste sistema é .

Podemos também multiplicar as equações do sistema por uma constante (desde que multipliquemos ambos os lados pela mesma constante) sem alterar a solução do sistema. Sabendo disso, a ideia é igualar um dos coeficientes das variáveis do sistema e depois somar (ou subtrair) as equações para obter uma equação com apenas uma variável.

Exemplo: Vamos resolver o seguinte sistema usando o Método da Soma:

Para igualar os coeficientes da variável , primeiro vamos multiplicar por . Assim, obtemos o seguinte sistema:

Agora podemos somar ambas as equações para obter o valor de :

Agora que temos o valor de , podemos substituí-lo em qualquer uma das equações e obter o valor de :

Logo o conjunto solução deste sistema é .

Método da Substituição:

O Método da Substituição consiste em escolher uma das equações do sistema e isolar uma das variáveis nesta equação ( ou , tanto faz). Depois, substituir a expressão encontrada na outra equação, e determinar uma das variáveis de cada vez.

Exemplo: Vamos resolver o seguinte sistema usando o Método da Substituição:

Podemos escolher qualquer uma das duas equações para começar, então vamos escolher a . Agora podemos escolher qual variável queremos isolar na , neste caso, escolhemos a variável . Temos então:

Agora, vamos substituir esta expressão de que acabamos de encontrar na . Veja:

Agora que temos o valor de , vamos substituí-lo em qualquer uma das equações ou para encontrar o valor de . Neste caso, escolhemos a . Temos então:

Logo o conjunto solução deste sistema é .

Referência:

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