Sistemas Lineares

Aqui vamos falar de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas. Outros tipos de sistemas serão abordados em outro momento.

Um sistema de duas equações e duas incógnitas (ou sistema 2\times 2) é um conjunto de duas equações lineares, e duas incógnitas que são, simultaneamente, incógnitas dessas duas equações.

Exemplo: Abaixo temos um sistema linear onde a e b são as incógnitas.

\left\{\begin{array}{l}2a+3b=4 \\ a-5b=13\end{array}\right.

Exemplo: Abaixo temos um sistema linear onde x e y são as incógnitas.

\left\{\begin{array}{l} 2x+7y=-6 \\ 8x-15y=10\end{array}\right.

A solução de um sistema linear são os valores de x e y que satisfazem simultaneamente ambas as equações

Para determinar o conjunto solução de um sistema linear, podemos usar dois métodos: o Método da Soma e o Método da Substituição. Ambos serão explicados a seguir.

Método da Soma:

O Método da Soma se baseia no fato de que podemos somar as equações do sistema para determinar sua solução.

Exemplo: Vamos resolver o seguinte sistema usando o Método da Soma:

\left\{\begin{array}{l} 2x+5y=9 \hspace{20pt} (1 \ eq.)\\ 5x-5y=5 \hspace{20pt} (2 \ eq.) \end{array}\right.

Vamos fazer a soma (1 \ eq.)+(2 \ eq.):

\underbrace{(2x+5x)}_{\text{soma de x}}+\underbrace{(5y-5y)}_{\text{soma de y}}=\underbrace{9+5}_{\text{soma constantes}}

7x=14

x=2

Agora que temos o valor de x, podemos substituí-lo em qualquer uma das equações e obter o valor de y:

2\cdot 2+5y=9

5y=5

y=1

Logo o conjunto solução deste sistema é S=\{ x=2, \ y=1\}.

Podemos também multiplicar as equações do sistema por uma constante (desde que multipliquemos ambos os lados pela mesma constante) sem alterar a solução do sistema. Sabendo disso, a ideia é igualar um dos coeficientes das variáveis do sistema e depois somar (ou subtrair) as equações para obter uma equação com apenas uma variável.

Exemplo: Vamos resolver o seguinte sistema usando o Método da Soma:

\left\{\begin{array}{l}3x+4y=18 \hspace{20pt} (1 \ eq.)\\ 6x+y=15\hspace{20pt} (2 \ eq.)\end{array}\right.

Para igualar os coeficientes da variável x, primeiro vamos multiplicar (1 \ eq.) por -2. Assim, obtemos o seguinte sistema:

\left\{\begin{array}{l}-6x-8y=-36 \hspace{20pt} (1 \ eq.)\\ \hspace{8pt} 6x+y=15\hspace{20pt} (2 \ eq.)\end{array}\right.

Agora podemos somar ambas as equações para obter o valor de y:

\underbrace{(-6x+6x)}_{\text{soma de x}}+\underbrace{(-8y+y)}_{\text{soma de y}}=\underbrace{(-36+15)}_{\text{soma constantes}}

-7y=-21

y=3

Agora que temos o valor de y, podemos substituí-lo em qualquer uma das equações e obter o valor de x:

6x+3=15

6x=12

x=2

Logo o conjunto solução deste sistema é S=\{ x=2, \ y=3\}.

Método da Substituição:

O Método da Substituição consiste em escolher uma das equações do sistema e isolar uma das variáveis nesta equação (x ou y, tanto faz). Depois, substituir a expressão encontrada na outra equação, e determinar uma das variáveis de cada vez.

Exemplo: Vamos resolver o seguinte sistema usando o Método da Substituição:

\left\{\begin{array}{l} 5x+3y=18 \hspace{20pt} (1 \ eq.) \\ 12x-7y=5 \hspace{20pt} (2 \ eq.) \end{array}\right.

Podemos escolher qualquer uma das duas equações para começar, então vamos escolher a (1 \ eq.). Agora podemos escolher qual variável queremos isolar na (1 \ eq.), neste caso, escolhemos a variável x. Temos então:

5x+3y=18

5x=18-3y

x=\dfrac{18-3y}{5}

Agora, vamos substituir esta expressão de x que acabamos de encontrar na (2 \ eq). Veja:

12\cdot\underbrace{\left(\dfrac{18-3y}{5}\right)}_{\text{x}}-7y=5

\dfrac{216-36y}{5}-\dfrac{35y}{5}=5

216-71y=25

y=\dfrac{191}{71}

Agora que temos o valor de y, vamos substituí-lo em qualquer uma das equações (1 \ eq.) ou (2 \ eq.) para encontrar o valor de x. Neste caso, escolhemos a (1 \ eq.). Temos então:

5x+3\cdot \underbrace{\left(\dfrac{191}{71}\right)}_{\text{y}}=18

\dfrac{355x}{71}+\dfrac{573}{71}=18

355x+573=1278

355x=705

x=\dfrac{705}{355}=\dfrac{141}{71}

Logo o conjunto solução deste sistema é S=\left\{ x=\dfrac{141}{71}, \ y=\dfrac{191}{71}\right\}.

Referência:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.