Matriz Inversa

Uma matriz quadrada B será inversa a uma matriz quadrada A, ambas de mesma ordem, se tivermos A\cdot B=I e B\cdot A=I, onde I é a matriz identidade de ordem n. A matriz B inversa à matriz A, geralmente é chamada de A^{-1}.

Exemplo:

As matrizes A e B abaixo,

A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 3\end{array}\right] \hspace{10pt} e \hspace{10pt} B=\left[\begin{array}{lll}\phantom{-}\dfrac{1}{12} & \phantom{-}\dfrac{3}{4} & -\dfrac{1}{3} \vspace{5pt}\\ -\dfrac{5}{12} & -\dfrac{3}{4} & \phantom{-}\dfrac{2}{3} \vspace{5pt}\\ \phantom{-}\dfrac{7}{12} & \phantom{-}\dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{3} \end{array}\right]

São matrizes inversas, pois se multiplicarmos as matrizes, temos:

A\cdot B = \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{lll}\phantom{-}\dfrac{1}{12} & \phantom{-}\dfrac{3}{4} & -\dfrac{1}{3} \vspace{5pt}\\ -\dfrac{5}{12} & -\dfrac{3}{4} & \phantom{-}\dfrac{2}{3} \vspace{5pt}\\ \phantom{-}\dfrac{7}{12} & \phantom{-}\dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]

OBS: Uma matriz quadrada A só terá inversa se det(A)\neq 0.

Vamos ver agora como dada a matriz A, podemos determinar a matriz A^{-1}.

Sabemos que A\cdot A^{-1}=I, onde I é a matriz identidade de mesma ordem que A. Então, vamos usar a matriz A do exemplo anterior, como exemplo e determinar a sua inversa. Temos então que:

\underbrace{\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 3 \end{array}\right]}_{\text{Matriz A}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{lll} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right]}_{\text{Matriz Inversa}}=\underbrace{\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]}_{\text{Matriz Identidade}}

Note que a matriz Inversa A^{-1} ainda é desconhecida, para determinar os elementos a, b, c, d, e, f, g, h, i\in\mathbb{R} devemos fazer a multiplicação das matrizes acima e igualar os elementos aos elementos correspondentes da matriz identidade. Assim temos:

OBS: A partir daqui é aconselhável que você acompanhe os cálculos com lápis e papel para que você consiga seguir o raciocínio com mais facilidade.

\underbrace{\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right]}_{\text{linha 1}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} a \\ d \\ g \end{array}\right]}_{\text{1 coluna}}=1\underbrace{\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right]}_{\text{linha 1}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} b \\ e \\ h \end{array}\right]}_{\text{2 coluna}}=0\underbrace{\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right]}_{\text{linha 1}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} c \\ f \\ i \end{array}\right]}_{\text{3 coluna}}=0
\underbrace{\left[\begin{array}{lll} 3 & 2 & 1 \end{array}\right]}_{\text{linha 2}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} a \\ d \\ g \end{array}\right]}_{\text{1 coluna}}=0\underbrace{\left[\begin{array}{lll} 3 & 2 & 1 \end{array}\right]}_{\text{linha 2}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} b \\ e \\ h \end{array}\right]}_{\text{2 coluna}}=1\underbrace{\left[\begin{array}{lll} 3 & 2 & 1 \end{array}\right]}_{\text{linha 2}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} c \\ f \\ i \end{array}\right]}_{\text{3 coluna}}=0
\underbrace{\left[\begin{array}{lll} 4 & 5 & 3 \end{array}\right]}_{\text{linha 3}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} a \\ d \\ g \end{array}\right]}_{\text{1 coluna}}=0\underbrace{\left[\begin{array}{lll} 4 & 5 & 3 \end{array}\right]}_{\text{linha 3}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} b \\ e \\ h \end{array}\right]}_{\text{2 coluna}}=0\underbrace{\left[\begin{array}{lll} 4 & 5 & 3 \end{array}\right]}_{\text{linha 3}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} c \\ f \\ i \end{array}\right]}_{\text{3 coluna}}=1

Sabendo disso, podemos montar o seguinte sistema:

\left\{\begin{array}{l}a+2d+3g=1 \hspace{15pt} (1 \ eq.) \vspace{5pt} \\ b+2e+3h=0\hspace{15pt} (2 \ eq.) \vspace{5pt} \\  c+2f+3i=0\hspace{15pt} (3 \ eq.) \vspace{5pt} \\ 3a+2d+g=0\hspace{15pt} (4 \ eq.) \vspace{5pt} \\ 3b+2e+h=1\hspace{15pt} (5 \ eq.) \vspace{5pt} \\ 3c+2f+i=0\hspace{15pt} (6 \ eq.) \vspace{5pt} \\ 4a+5d+3g=0\hspace{15pt} (7 \ eq.) \vspace{5pt} \\ 4b+5e+3h=0\hspace{15pt} (8 \ eq.) \vspace{5pt} \\ 4c+5f+3i=1\hspace{15pt} (9 \ eq.) \vspace{5pt} \end{array}\right.

OBS: O sistema de equações acima pode parecer assustador, mas não se preocupe, ele não é tão difícil quanto parece. Note que numeramos as equações de (1) a (9). Vamos usar estes números para referenciar as equações durante a solução. A estratégia é de combinar as equações de uma forma esperta, com objetivo de chegar em uma equação com apenas uma variável. Veja:

OBS: Quando necessário, vamos mostrar o termo original das equações (1) a (9) usando uma chave abaixo do termo equivalente.

Fazendo (6 \ eq.) - (3 \ eq.) temos:

2c-2i=0

i=c

Agora substituindo este resultado em (3 \ eq.) temos:

c+2f+3\underbrace{c}_{\text{i}}=0

f=-2c

Substituindo ambos estes resultados em (9 \ eq.) temos:

4c+5\underbrace{(-2c)}_{\text{f}}+3\underbrace{c}_{\text{i}}=1

c=-\dfrac{1}{3}

E, como temos que i=c:

i=-\dfrac{1}{3}

Agora como f=-2c temos:

f=\dfrac{2}{3}

Já encontramos as incógnitas c, f, i da matriz inversa. O processo para determinar as outras 6 incógnitas é o mesmo. Veja:

Fazendo (4 \ eq.) - (1 \ eq.) temos:

2a-2g=-1

a=g-\dfrac{1}{2}

Substituindo este resultado em (7 \ eq.) temos:

4\underbrace{\left(g-\dfrac{1}{2}\right)}_{\text{a}}+5d+3g=0

g=\dfrac{2-5d}{7}

Substituindo ambos estes resultados em (1 \ eq.) temos:

\underbrace{\left(\underbrace{\left(\dfrac{2-5d}{7}\right)}_{\text{g}}-\dfrac{1}{2}\right)}_{\text{a}}+2d+3\underbrace{\left(\dfrac{2-5d}{7}\right)}_{\text{g}}=1

d=-\dfrac{5}{12}

E como g=\dfrac{2-5d}{7} temos:

g=\dfrac{7}{12}

E como a=g-\dfrac{1}{2} temos:

a=\dfrac{1}{12}

Por último, vamos determinar as ultimas 3 incógnitas seguindo o mesmo raciocínio. (5 \ eq.)-(2 \ eq.) temos:

2b-2h=1

b=\dfrac{1}{2}+h

Substituindo este resultado na (8 eq.) temos:

4\underbrace{\left(\dfrac{1}{2}+h\right)}_{\text{b}}+5e+3h=0

e=\dfrac{-4-14h}{10}

Substituindo ambos estes resultados na (2 \ eq.) temos:

\underbrace{\left(\dfrac{1}{2}+h\right)}_{\text{b}}+2\underbrace{\left(\dfrac{-4-14h}{10}\right)}_{\text{e}}+3h=0

h=\dfrac{1}{4}

E como e=\dfrac{-4-14h}{10} temos:

e=-\dfrac{3}{4}

Por ultimo, como b=\dfrac{1}{2}+h temos:

b=\dfrac{3}{4}

Assim temos que:

\underbrace{\left[\begin{array}{lll} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right]}_{\text{Matriz Inversa}}=\underbrace{\left[\begin{array}{lll}\phantom{-}\dfrac{1}{12} & \phantom{-}\dfrac{3}{4} & -\dfrac{1}{3} \vspace{5pt}\\ -\dfrac{5}{12} & -\dfrac{3}{4} & \phantom{-}\dfrac{2}{3} \vspace{5pt}\\ \phantom{-}\dfrac{7}{12} & \phantom{-}\dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{3} \end{array}\right]}_{\text{Matriz B do Exemplo}}

Referências:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
  • Stover, Christopher and Weisstein, Eric W. “Matrix Inverse.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html

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