Calculo do Determinante de Ordem n

Aqui vamos aprender a calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem n através do Teorema de Laplace. Porém antes de enunciar o teorema, devemos aprender o que é o cofator de um elemento da matriz.

Cofator de um Elemento da Matriz

Seja A uma matriz quadrada de ordem n e a_{i,j} o elemento da linha i e coluna j da matriz A. Seja também D_{i,j} o determinante da matriz obtida ao eliminar a linha i e coluna j da matriz A. O cofator do elemento a_{i,j} é o número c_{i,j} tal que:

c_{i,j}=(-1)^{(i+j)}\cdot D_{i,j}

Exemplo:

Seja A a matriz:

A=\left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & 4  \\ 2 & 0 & 1  \\ 5 & 3 & 9  \end{array}\right|

Vamos determinar o cofator do elemento a_{3,1}. Primeiramente, vamos determinar a matriz D_{3,1} que obtemos eliminando a 3 linha e a 1 coluna:

D_{3,1}=\left|\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{array}\right|

Fazendo o calculo do determinante, temos que:

D_{3,1}=3\cdot 1 - 0\cdot 4=3

Assim temos que o cofator do elemento a_{3,1} é:

c_{3,1}=(-1)^{(3+1)}\cdot 3

c_{3,1}=(-1)^4\cdot 3

c_{3,1}=3

Agora que sabemos o que é um cofator e como calculá-lo, podemos enunciar o teorema de Laplace:

Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada A qualquer, de ordem n é igual a soma dos elementos de uma linha (ou coluna), cada um multiplicado pelo seu respectivo cofator.

Vamos usar um exemplo para entender melhor como calcular o determinante usando o teorema de Laplace.

Exemplo 1: Vamos calcular o determinante da matriz A a seguir:

A=\left|\begin{array}{lll} 7 & 4 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 5 \end{array}\right|

Primeiro escolhemos uma linha ou coluna qualquer da matriz. Aqui, decidimos escolher a coluna 2. O teorema de Laplace diz que o determinante de A será a soma dos elementos da coluna 2, multiplicados pelos seus respectivos cofatores. Isso significa que, antes de calcular Det(A), devemos calcular c_{1,2}, c_{2,2} e c_{3,2}, que são os cofatores de todos os elementos da coluna 2.

c_{1,2}=(-1)^{(1+2)}\cdot \left|\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 5 \end{array}\right|=(-1)\cdot 3 = -3

c_{2,2}=(-1)^{(2+2)}\cdot \left|\begin{array}{ll} 7 & 4 \\ 2 & 5 \end{array}\right|=1\cdot 27 = 27

c_{3,2}=(-1)^{(3+2)}\cdot \left|\begin{array}{ll} 7 & 4 \\ 1 & 1 \end{array}\right|=(-1)\cdot 3 = -3

Assim, pelo teorema de Laplace temos que:

Det(A)=4 \cdot (-3)+0\cdot 27 = 4\cdot (-3)=-24

OBS: Podemos facilitar o cálculo do determinante de uma matriz usando o teorema de Laplace escolhendo a linha ou coluna com mais zeros (se houverem). Isso facilita os cálculos pois, como o cofator será multiplicado pelo elemento daquela linha e coluna, se este elemento for zero o produto também será zero, independente do cofator. Em outras palavras, se um dos elementos da matriz for zero, não precisamos calcular o seu cofator.

Referência:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

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