Aqui vamos aprender a calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem através do Teorema de Laplace. Porém antes de enunciar o teorema, devemos aprender o que é o cofator de um elemento da matriz.
Cofator de um Elemento da Matriz
Seja uma matriz quadrada de ordem
e
o elemento da linha
e coluna
da matriz
. Seja também
o determinante da matriz obtida ao eliminar a linha
e coluna
da matriz
. O cofator do elemento
é o número
tal que:
Exemplo:
Seja a matriz:
Vamos determinar o cofator do elemento . Primeiramente, vamos determinar a matriz
que obtemos eliminando a 3 linha e a 1 coluna:
Fazendo o calculo do determinante, temos que:
Assim temos que o cofator do elemento é:
Agora que sabemos o que é um cofator e como calculá-lo, podemos enunciar o teorema de Laplace:
Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada qualquer, de ordem
é igual a soma dos elementos de uma linha (ou coluna), cada um multiplicado pelo seu respectivo cofator.
Vamos usar um exemplo para entender melhor como calcular o determinante usando o teorema de Laplace.
Exemplo 1: Vamos calcular o determinante da matriz a seguir:
Primeiro escolhemos uma linha ou coluna qualquer da matriz. Aqui, decidimos escolher a coluna 2. O teorema de Laplace diz que o determinante de será a soma dos elementos da coluna 2, multiplicados pelos seus respectivos cofatores. Isso significa que, antes de calcular
, devemos calcular
,
e
, que são os cofatores de todos os elementos da coluna 2.
Assim, pelo teorema de Laplace temos que:
OBS: Podemos facilitar o cálculo do determinante de uma matriz usando o teorema de Laplace escolhendo a linha ou coluna com mais zeros (se houverem). Isso facilita os cálculos pois, como o cofator será multiplicado pelo elemento daquela linha e coluna, se este elemento for zero o produto também será zero, independente do cofator. Em outras palavras, se um dos elementos da matriz for zero, não precisamos calcular o seu cofator.
Referência:
- IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
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