Operações com Matrizes

Aqui vamos listar as operações básicas que podem ser realizadas com matrizes. São elas: soma, subtração, multiplicação por um número real, multiplicação de matrizes, o cálculo do determinante e a igualdade entre matrizes.

Igualdade Entre Matrizes:

Duas matrizes a_{m,n} e B_{m,n} são iguais quando elas tem o mesmo número de linhas e colunas e temos a_{i,j}=b_{i,j}, com 1\leq i \leq m e 1\leq j \leq n. Veja o exemplo abaixo sobre igualdade entre duas matrizes:

Se,

\left[\begin{array}{ll} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 0 & 7\end{array}\right]

Então temos que: a_{1,1}=3, a_{1,2}=1, a_{2,1}=0 e a_{2,2}=7.

Soma de Matrizes:

Para que seja possível somar duas matrizes, é necessário que ambas tenham a mesma ordem. Se este for o caso, então a soma das matrizes A_{m,n} com a matriz B_{m,n} será uma matriz C_{m,n} e pode ser calculada pela soma dos elementos correspondentes, ou seja c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}. Veja abaixo o exemplo da soma de duas matrizes de ordem 2:

\left[\begin{array}{ll} \phantom{-}2 & \phantom{-}4 \\ -1 & \phantom{-}3 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} \phantom{-}0 & -3 \\ \phantom{-}2 & \phantom{-}1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{array}\right]

Subtração de Matrizes:

A subtração de duas matrizes é muito parecida com a soma de matrizes. A subtração de matrizes também só pode ser feita se as matrizes tiverem o mesmo número de linhas e de colunas e é feita subtraindo elementos correspondentes, ou seja, c_{i,j}=a_{i,j}-b_{i,j}. Veja abaixo o exemplo da subtração de duas matrizes de ordem 3:

\left[\begin{array}{lll} \phantom{-}5 & \phantom{-}4  & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}3 & \phantom{-}2 & -2 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}2 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{lll} \phantom{-}1 & \phantom{-}2 & -4 \\ \phantom{-}3 & \phantom{-}4 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} \phantom{-}4 & \phantom{-}2 & \phantom{-}4 \\ \phantom{-}0 & -2 & -3 \\ \phantom{-}1 & -2 & \phantom{-}3 \end{array}\right]

Multiplicação de uma Matriz por um Número Real:

Para multiplicar uma matriz por um número real a, basta multiplicar cada elemento da matriz por a. Veja um exemplo de uma multiplicação de uma matriz M_{3,3} por -2:

(-2)\cdot\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} -2 & -4 & -6 \\ -6 & -4 & -2 \\ -2 & -4 & -2 \end{array}\right]

Multiplicação de Matrizes:

A multiplicação de duas matrizes A_{q,n} e B_{n,p} só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. IMPORTANTE: Na multiplicação de matrizes, a ordem importa. Isso quer dizer que em geral temos A\cdot B \neq B\cdot A.

O produto de matrizes é calculado multiplicando todas as linhas da primeira matriz por todas as colunas da segunda matriz. Vamos ilustrar este conceito com um exemplo prático e multiplicar duas matrizes quadradas de ordem 2.

A\cdot B= \underbrace{\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]}_{\text{Matriz A}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{ll} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right]}_{\text{Matriz B}}

O elemento c_{i,j} da matriz C=A\cdot B será dado por:

c_{1,1}=\underbrace{\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right]}_{\text{1 \ linha}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right]}_{\text{1 coluna}}=(1\cdot 4)+(2\cdot 2)=8

c_{1,2}=\underbrace{\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right]}_{\text{1 linha}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right]}_{\text{2 coluna}}=(1\cdot 3)+(2\cdot 1)=5

c_{2,1}=\underbrace{\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \end{array}\right]}_{\text{2 linha}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right]}_{\text{1 coluna}}=(3\cdot 4)+(4\cdot 2)=20

c_{2,2}=\underbrace{\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \end{array}\right]}_{\text{2 linha}}\cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right]}_{\text{2 coluna}}=(3\cdot 3)+(4\cdot 1)=13

Assim, temos que:

A\cdot B= \left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ll} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 8 & 5 \\ 20 & 13 \end{array}\right]

Calculo do Determinante:

O determinante de uma matriz A é um número d\in\mathbb{R} associado a esta matriz. Só é possível calcular o determinante de uma matriz se esta matriz for quadrada. Nesta pagina só vamos estudar o cálculo de determinantes de ordem 2. A discussão sobre o cálculo do determinante de matrizes de ordem superior será feita em uma página separada.

Determinante de uma Matriz de Ordem 2:

O determinante de uma matriz de ordem 2 é obtido multiplicando todos os termos da diagonal principal e subtraindo destes valores o produto dos termos da diagonal secundária. Veja abaixo um exemplo:

|A|=\left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}\right|=2\cdot 1 - 0\cdot 3=2

Referência:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

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