Matrizes

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Uma matriz A_{m,n} é uma lista (ou tabela) com m linhas e n colunas dados são armazenados.

Exemplo: abaixo temos a matriz A_{m,n}:

A=\left[ \begin{array}{llll} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{array} \right]

Onde a_{i,j} representa o elemento da linha i e coluna j. Vamos ver abaixo alguns tipos diferentes de matrizes:

Matriz Quadrada:

Uma matriz quadrada é aquela que tem o número de linhas igual ao número de colunas. Veja abaixo o exemplo de uma matriz B_{3,3}:

B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right]

Dizemos que a matriz B acima é uma matriz quadrada de ordem 3, pois tem 3 linhas e 3 colunas.

Matriz Nula:

Uma matriz nula é matriz que tem todos os seus elementos iguais a zero. Veja abaixo um exemplo de uma matriz C_{2,2}:

C=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]

Matriz Identidade:

Uma matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n, onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e o resto dos elementos são todos iguais a zero. Veja abaixo o exemplo de uma matriz identidade de ordem 4:

I_4=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Normalmente matrizes identidade são sempre representadas pela letra I (i maiúsculo).

OBS: A diagonal principal são os elementos a_{i,j} onde i=j.

Matriz Diagonal:

Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são diferentes de zero e todos os outros elementos são iguais a zero. Veja abaixo um exemplo de uma matriz diagonal de ordem 3:

D=\left[\begin{array}{lll} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 19 & 0 \\ 0 & 0 & 13 \end{array}\right]

Matriz Linha:

Uma matriz linha é uma matriz com várias colunas porém apenas uma linha. Veja abaixo o exemplo de uma matriz E_{1,4}:

E=\left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right]

Matriz Coluna:

Uma matriz coluna é uma matriz com várias linhas, porém apenas uma coluna. Veja abaixo o exemplo da matriz D_{3,1}:

D=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right]

Matriz Oposta:

Uma matriz B será oposta à matriz A se tivermos A+B=0, onde 0 é a matriz nula da mesma ordem de A e B.

Exemplo: Se A for a seguinte matriz:

A=\left[\begin{array}{lll} \phantom{-}1 & \phantom{-}2 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}12 & \phantom{-}3 & -1 \\ \phantom{-}4 & \phantom{-}0 & -5 \end{array}\right]

Então a matriz oposta à matriz A será a matriz B:

B=\left[\begin{array}{lll} -1 & -2 & \phantom{-}0 \\ -12 & -3 & \phantom{-}1 \\ -4 & \phantom{-}0 & \phantom{-}5 \end{array}\right]

Pois temos que

\left[\begin{array}{lll} \phantom{-}1 & \phantom{-}2 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}12 & \phantom{-}3 & -1 \\ \phantom{-}4 & \phantom{-}0 & -5 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll} -1 & -2 & \phantom{-}0 \\ -12 & -3 & \phantom{-}1 \\ -4 & \phantom{-}0 & \phantom{-}5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

OBS: A matris oposta à matriz A geralmente é denotada por -A.

Matriz Transposta:

A matriz transposta a uma matriz A é a matriz B tal que B tem os mesmos elementos de A, porém as linhas são trocadas pelas colunas.

Exemplo: Se A for a seguinte matriz:

A=\left[\begin{array}{lll} \phantom{-}1 & \phantom{-}2 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}12 & \phantom{-}3 & -1 \\ \phantom{-}4 & \phantom{-}0 & -5 \end{array}\right]

A matris transposta a esta será a matriz B tal que:

B=\left[\begin{array}{lll} \phantom{-}1 & \phantom{-}12 & \phantom{-}4 \\ \phantom{-}2 & \phantom{-}3 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & -1 & -5 \end{array}\right]

OBS: A matriz transposta à matriz A geralmente é denotada por A^T.

Referência:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

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