Matrizes

Uma matriz $A_{m,n}$ é uma lista (ou tabela) com $m$ linhas e $n$ colunas dados são armazenados.

Exemplo: abaixo temos a matriz $A_{m,n}$ :

$A=\left[ \begin{array}{llll} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{array} \right]$

Onde $a_{i,j}$ representa o elemento da linha $i$ e coluna $j$ . Vamos ver abaixo alguns tipos diferentes de matrizes:

Matriz Quadrada:

Uma matriz quadrada é aquela que tem o número de linhas igual ao número de colunas. Veja abaixo o exemplo de uma matriz $B_{3,3}$ :

$B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right]$

Dizemos que a matriz $B$ acima é uma matriz quadrada de ordem $3$ , pois tem $3$ linhas e $3$ colunas.

Matriz Nula:

Uma matriz nula é matriz que tem todos os seus elementos iguais a zero. Veja abaixo um exemplo de uma matriz $C_{2,2}$ :

$C=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$

Matriz Identidade:

Uma matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem $n$ , onde os elementos da diagonal principal são iguais a $1$ e o resto dos elementos são todos iguais a zero. Veja abaixo o exemplo de uma matriz identidade de ordem $4$ :

$I_4=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$

Normalmente matrizes identidade são sempre representadas pela letra $I$ (i maiúsculo).

OBS: A diagonal principal são os elementos $a_{i,j}$ onde $i=j$ .

Matriz Diagonal:

Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são diferentes de zero e todos os outros elementos são iguais a zero. Veja abaixo um exemplo de uma matriz diagonal de ordem 3:

$D=\left[\begin{array}{lll} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 19 & 0 \\ 0 & 0 & 13 \end{array}\right]$

Matriz Linha:

Uma matriz linha é uma matriz com várias colunas porém apenas uma linha. Veja abaixo o exemplo de uma matriz $E_{1,4}$ :

$E=\left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right]$

Matriz Coluna:

Uma matriz coluna é uma matriz com várias linhas, porém apenas uma coluna. Veja abaixo o exemplo da matriz $D_{3,1}$ :

$D=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right]$

Matriz Oposta:

Uma matriz $B$ será oposta à matriz $A$ se tivermos $A+B=0$ , onde $0$ é a matriz nula da mesma ordem de $A$ e $B$ .

Exemplo: Se $A$ for a seguinte matriz:

$A=\left[\begin{array}{lll} \phantom{-}1 & \phantom{-}2 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}12 & \phantom{-}3 & -1 \\ \phantom{-}4 & \phantom{-}0 & -5 \end{array}\right]$

Então a matriz oposta à matriz $A$ será a matriz $B$ :

$B=\left[\begin{array}{lll} -1 & -2 & \phantom{-}0 \\ -12 & -3 & \phantom{-}1 \\ -4 & \phantom{-}0 & \phantom{-}5 \end{array}\right]$

Pois temos que

$\left[\begin{array}{lll} \phantom{-}1 & \phantom{-}2 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}12 & \phantom{-}3 & -1 \\ \phantom{-}4 & \phantom{-}0 & -5 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll} -1 & -2 & \phantom{-}0 \\ -12 & -3 & \phantom{-}1 \\ -4 & \phantom{-}0 & \phantom{-}5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$

OBS: A matris oposta à matriz $A$ geralmente é denotada por $-A$ .

Matriz Transposta:

A matriz transposta a uma matriz $A$ é a matriz $B$ tal que $B$ tem os mesmos elementos de $A$ , porém as linhas são trocadas pelas colunas.

Exemplo: Se $A$ for a seguinte matriz:

$A=\left[\begin{array}{lll} \phantom{-}1 & \phantom{-}2 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}12 & \phantom{-}3 & -1 \\ \phantom{-}4 & \phantom{-}0 & -5 \end{array}\right]$

A matris transposta a esta será a matriz $B$ tal que:

$B=\left[\begin{array}{lll} \phantom{-}1 & \phantom{-}12 & \phantom{-}4 \\ \phantom{-}2 & \phantom{-}3 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & -1 & -5 \end{array}\right]$

OBS: A matriz transposta à matriz $A$ geralmente é denotada por $A^T$ .

Referência:

IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

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Publicado por MeioPixel