Mudanças no Gráfico da Função Tangente

Aqui vamos analisar funções da forma f(x)=a+b\cdot tg(c\cdot x+d), com a, \ b, \ c e d\in \mathbb{R}, e ver como cada um dos parâmetros a, \ b, \ c e d influencia no gráfico da função f(x).

O parâmetro a:

Na função f(x)=a+tg(x), o parâmetro a desloca o gráfico da função tangente a unidades, para cima ou para baixo dependendo do sinal de a. Veja a imagem abaixo onde a=2:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Isso ocorre pois a função g(x)=a+tg(x) toma todos os valores da função f(x)=tg(x) e soma a a esses valores. Na prática isso significa que, para um mesmo x, o ponto (x, g(x)) estará sempre a unidades acima do ponto (x,f(x)).

O parâmetro b:

Na função f(x)=b\cdot tg(x), o parâmetro b “estica” o gráfico da função tangente na vertical se b>1, ou “contrai” o gráfico da função tangente, também na vertical, se 0<b<1. Veja a imagem abaixo onde b=2:

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Isso ocorre pois, na função g(x)=b\cdot tg(x), qualquer que seja o valor de tg(x), ele será multiplicado por b. Então, por exemplo, se tg(x)=0 teremos g(x)=b\cdot 0=0. Assim como se tg(x)=1, teremos g(x)=b\cdot 1=b (OBS: note que este valor b pode ser maior ou menor que 1, dependendo se 0<b<1 ou se b>1).

IMPORTANTE: O gráfico de g(x)=2\cdot tg(x) (representado em roxo na figura acima) não são retas. A imagem acima pode dar esta impressão, mas isto é apenas uma consequência do zoom da imagem.

O parâmetro c:

Na função g(x)=tg(c\cdot x), o parâmetro c altera o período da função f(x)=tg(x). Se c>1, o período irá diminuir, se 0<c<1, o período irá aumentar. Além disso, o parâmetro c também “estica” ou “contrai” o gráfico de f(x)=tg(x) na vertical dependendo se c>1 ou se 0<c<1. Veja a imagem abaixo onde c=2:

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A alteração no período ocorre pois a função g(x)=tg(c\cdot x) será zero quando c\cdot x=k\cdot \pi, k\in\mathbb{Z}, ou seja, x=k\cdot\dfrac{\pi}{c}. Isso significa que, toda vez que o argumento da função g(x)=tg(c\cdot x) for um múltiplo de \dfrac{\pi}{c}, o valor de g(x) será zero.

O efeito de “esticar” ou “contrair” o gráfico de f(x)=tg(x) na vertical ocorre pois, como a função f(x)=tg(x) é estritamente crescente nos intervalos \left\{ \left] -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[, \ \left] \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2} \right[, \ \cdots \right\}, então temos que, dentro destes intervalos, tg(2x)>tg(x), se x>0 e tg(2x)<tg(x), se x<0.

O parâmetro d:

Na função g(x)=tg(x+d), o parâmetro d desloca o gráfico da função f(x)=tg(x) para a esquerda, se d>0 ou para a direita se d<0. Veja o gráfico abaixo onde d=\dfrac{\pi}{4}:

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Isso ocorre pois, a função g(x)=tg(x+d) será igual a zero se (x+d)=k\cdot \pi, com k\in\mathbb{Z}, ou seja, x=k\cdot\pi-d. Isso significa que, toda vez que o x no argumento da função g(x)=tg(x+d) for um múltiplo de \pi menos a constante d, teremos g(x)=0.

Referências:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
  • Geogebra©, disponível em https://www.geogebra.org, 2020.

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