Mudanças no Gráfico da Função Cosseno

Aqui vamos analisar funções da forma $f(x)=a+b\cdot cos(c\cdot x+d)$ , com $a, \ b, \ c$ e $d\in \mathbb{R}$ , e ver como cada um dos parâmetros $a, \ b, \ c$ e $d$ influencia no gráfico da função $f(x)$ .

O parâmetro a:

Na função $g(x)=a+cos(x)$ , o parâmetro $a$ desloca o gráfico da função $f(x)=cos(x)$ $a$ unidades para cima ou para baixo, dependendo do valor de $a$ . Veja a imagem abaixo onde $a=2$ .

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Isso ocorre pois, na função $f(x)=a+cos(x)$ , se $cos(x)=1$ , então $f(x)=a+1$ . Se $cos(x)=-1$ então $f(x)=a-1$ . E finalmente, se $cos(x)=0$ então $f(x)=a$ .

O Parâmetro b:

Na função $f(x)=b\cdot cos(x)$ , o parâmetro $b$ “estica” o gráfico da função, se $b>1$ , ou “contrai” o gráfico da função se $0<b<1$ . Veja a imagem abaixo onde $b=2$ :

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Isso ocorre pois, na função $f(x)=b\cdot cos(x)$ , se $cos(x)=1$ , então $f(x)=2\cdot 1=2$ . Se $cos(x)=-1$ , então $f(x)=2\cdot (-1)=-2$ . E, por último, se $cos(x)=0$ então $f(x)=2\cdot 0=0$ .

O parâmetro c:

Na função $f(x)=cos(c\cdot x)$ , o parâmetro $c$ altera o período da função, deixando o período mais curto, se $c>1$ , ou mais longo se $0<c<1$ . Veja a imagem abaixo onde $c=2$ :

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Isso ocorre pois, a função $cos(c\cdot x)$ será igual a zero quando $c\cdot x=k\cdot\dfrac{\pi}{2}$ , com $k\in\mathbb{Z}$ , ou seja, $x=k\cdot\dfrac{\pi}{2\cdot c}$ . Isso significa que, toda vez que o argumento da função for um múltiplo de $\dfrac{\pi}{2\cdot c}$ teremos $f(x)=0$ .

O parâmetro d:

Na função $f(x)=cos(x+d)$ , o parâmetro $d$ desloca o gráfico da função cosseno $d$ unidades para a direita ou para a esquerda, dependendo do sinal de $d$ . Veja a imagem abaixo onde $d=\dfrac{\pi}{4}$ :

Isso ocorre pois a função $f(x)=cos(x+d)$ será igual a zero quando $(x+d)= \dfrac{\pi}{2}+k\cdot\pi$ , com $k\in\mathbb{Z}$ . Logo $x=\dfrac{\pi}{2}+k\cdot\pi-d$ . Isso significa que toda vez que o $x$ no argumento da função for $\dfrac{\pi}{2}$ somado a um múltiplo de $\pi$ e subtraído da constante $d$ , teremos $f(x)=0$ .