Mudanças no Gráfico da Função Cosseno

Aqui vamos analisar funções da forma f(x)=a+b\cdot cos(c\cdot x+d), com a, \ b, \ c e d\in \mathbb{R}, e ver como cada um dos parâmetros a, \ b, \ c e d influencia no gráfico da função f(x).

O parâmetro a:

Na função g(x)=a+cos(x), o parâmetro a desloca o gráfico da função f(x)=cos(x) a unidades para cima ou para baixo, dependendo do valor de a. Veja a imagem abaixo onde a=2.

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Isso ocorre pois, na função f(x)=a+cos(x), se cos(x)=1, então f(x)=a+1. Se cos(x)=-1 então f(x)=a-1. E finalmente, se cos(x)=0 então f(x)=a.

O Parâmetro b:

Na função f(x)=b\cdot cos(x), o parâmetro b “estica” o gráfico da função, se b>1, ou “contrai” o gráfico da função se 0<b<1. Veja a imagem abaixo onde b=2:

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Isso ocorre pois, na função f(x)=b\cdot cos(x), se cos(x)=1, então f(x)=2\cdot 1=2. Se cos(x)=-1, então f(x)=2\cdot (-1)=-2. E, por último, se cos(x)=0 então f(x)=2\cdot 0=0.

O parâmetro c:

Na função f(x)=cos(c\cdot x), o parâmetro c altera o período da função, deixando o período mais curto, se c>1, ou mais longo se 0<c<1. Veja a imagem abaixo onde c=2:

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Isso ocorre pois, a função cos(c\cdot x) será igual a zero quando c\cdot x=k\cdot\dfrac{\pi}{2}, com k\in\mathbb{Z}, ou seja, x=k\cdot\dfrac{\pi}{2\cdot c}. Isso significa que, toda vez que o argumento da função for um múltiplo de \dfrac{\pi}{2\cdot c} teremos f(x)=0.

O parâmetro d:

Na função f(x)=cos(x+d), o parâmetro d desloca o gráfico da função cosseno d unidades para a direita ou para a esquerda, dependendo do sinal de d. Veja a imagem abaixo onde d=\dfrac{\pi}{4}:

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Isso ocorre pois a função f(x)=cos(x+d) será igual a zero quando (x+d)= \dfrac{\pi}{2}+k\cdot\pi, com k\in\mathbb{Z}. Logo x=\dfrac{\pi}{2}+k\cdot\pi-d. Isso significa que toda vez que o x no argumento da função for \dfrac{\pi}{2} somado a um múltiplo de \pi e subtraído da constante d, teremos f(x)=0.

Referências:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
  • Geogebra©, disponível em https://www.geogebra.org, 2020.

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