Função Arco Tangente

A função arco tangente é a função inversa à função tangente, e pode ser definida como: f: \mathbb{R}\rightarrow \left( -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right) tal que f(x)=arctg(x). Para melhor compreender a função arco tangente, vamos olhar o gráfico da função e como os valores de f(x) dependem dos valores de x.

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Como podemos ver na imagem acima, a função f(x)=arctg(x) é estritamente crescente, ou seja, se x_1<x_2 então teremos f(x_1)<f(x_2).

  • f(x)=arctg(x) não é uma função par pois, em geral não temos f(-x)=f(x).
  • f(x)=arctg(x) é uma função ímpar, pois temos que f(-x)=-f(x).
  • f(x)=arctg(x) é uma função injetora pois se x_1\neq x_2 teremos que f(x_1)\neq f(x_2). Podemos visualizar isso se nos lembrarmos que a função é estritamente crescente.
  • f(x)=arctg(x) é uma função sobrejetora pois, seu contra domínio é igual a sua imagem, ou seja:

\forall y\in \left(  -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right), \ \exists x\in \mathbb{R} tal que f(x)=y

Portanto, f(x)=arctg(x) é uma função bijetora.

OBS: Como a função arco tangente é inversa à função tangente, temos:

arctg(tg(x))=x=tg(arctg(x))

Referências: