Função Arco Tangente

A função arco tangente é a função inversa à função tangente, e pode ser definida como: $f: \mathbb{R}\rightarrow \left( -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right)$ tal que $f(x)=arctg(x)$ . Para melhor compreender a função arco tangente, vamos olhar o gráfico da função e como os valores de $f(x)$ dependem dos valores de $x$ .

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Como podemos ver na imagem acima, a função $f(x)=arctg(x)$ é estritamente crescente, ou seja, se $x_1<x_2$ então teremos $f(x_1)<f(x_2)$ .

$f(x)=arctg(x)$ não é uma função par pois, em geral não temos $f(-x)=f(x)$ .
$f(x)=arctg(x)$ é uma função ímpar, pois temos que $f(-x)=-f(x)$ .
$f(x)=arctg(x)$ é uma função injetora pois se $x_1\neq x_2$ teremos que $f(x_1)\neq f(x_2)$ . Podemos visualizar isso se nos lembrarmos que a função é estritamente crescente.
$f(x)=arctg(x)$ é uma função sobrejetora pois, seu contra domínio é igual a sua imagem, ou seja: