Função Arco Seno

A função arco seno é a função inversa à função seno, e pode ser definida como: f:[-1,1]\rightarrow \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] tal que f(x)=arcsen(x). Para melhor compreender a função arcsen(x), vamos dar uma olhada no gráfico da função e em como os valores de f(x) variam dependendo de x.

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Note que o gráfico de f(x)=arcsen(x) é estritamente crescente, ou seja, se x_1>x_2\rightarrow f(x_1)>f(x_2). Assim, temos que:

  • f(x)=arcsen(x) não é uma função par, pois em geral não temos f(-x)=f(x).
  • f(x)=arcsen(x) é uma função ímpar, pois temos f(-x)=-f(x).
  • f(x)=arcsen(x) é uma função injetora, pois dados x_1 \neq x_2, teremos f(x_1)\neq f(x_2). Uma forma fácil de perceber isso é notar que o gráfico de f(x) é estritamente crescente.
  • f(x)=arcsen(x) é uma função sobrejetora pois o contra domínio é igual a imagem, ou seja:

\forall y\in \left[ -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right], \ \exists x\in [-1,1] tal que f(x)=y

  • Portanto, a função f(x)=arcsen(x) é uma função bijetora.

OBS: Como a função arco seno é inversa a função seno, temos que:

arcsen(sen(x))=x=sen(arcsen(x)).

Referências: