Função Arco Cosseno

A função arco cosseno é a função inversa à função cosseno, e pode ser definida como: f: [-1,1]\rightarrow [0,\pi] tal que f(x)=arccos(x). Para compreender melhor a função f(x)=arccos(x), vamos olhar o gráfico da função e em como os valores de f(x) dependem dos valores de x.

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Note que o gráfico de f(x)=arccos(x) é estritamente decrescente, ou seja, se x_1>x_2 teremos f(x_1)<f(x_2). Assim, temos:

  • f(x)=arccos(x) não é uma função par, pois não podemos garantir que f(-x)=f(x) para todo x.
  • f(x)=arccos(x) não é uma função ímpar, pois não podemos garantir que f(-x)=-f(x) para todo x.
  • f(x)=arccos(x) é uma função injetora pois se x_1\neq x_2 então teremos f(x_1)\neq f(x_2). Isso pode ser facilmente verificado observando o fato de que o gráfico da função é estritamente decrescente.
  • f(x)=arccos(x) é uma função sobrejetora, pois seu contra domínio é igual a sua imagem, ou seja:

\forall y\in [0,\pi] \ \exists x\in [-1,1] tal que $f(x)=y$

  • Portanto f(x)=arccos(x) é uma função bijetora.

OBS: como a função arco cosseno é a função inversa da função cosseno, temos:

arccos(cos(x))=x=cos(arccos(x)

Referências: