Soma e Subtração de Arcos: Seno, Cosseno e Tangente

Além de saber os valores de sen(x), cos(x) ou Tg(x), as vezes é interessante saber os valores de sen(2x), ou de cos(3x), ou ainda tg(x+y), para x,y\in \left[ 0,\dfrac{\pi}{2} \right]. Vamos apresentar a seguir algumas fórmulas que vão nos ajudar a encontrar tais valores:

Soma:

sen(x+y)=sen(x)\cdot cos(y)+sen(y)\cdot cos(x)

cos(x+y)=cos(x)\cdot cos(y)-sen(x)\cdot sen(y)

tg(x+y)=\dfrac{tg(x)+tg(y)}{1-tg(x)\cdot tg(y)}

Subtração:

sen(x-y)=sen(x)\cdot cos(y)-sen(y)\cdot cos(x)

cos(x-y)=cos(x)\cdot cos(y)+sen(x)\cdot sen(y)

tg(x-y)=\dfrac{tg(x)-tg(y)}{1+tg(x)\cdot tg(y)}

Agora vamos mostrar alguns exemplos de aplicação destas fórmulas:

Exemplo: Calcule o valor de sen(105^o).

Primeiramente, veja que 105=60+45, logo temos que sen(105^o)=sen(60^o+45^o). Então, usando a fórmula para a soma de arcos temos:

sen(60^o+45^o)=sen(60^o)\cdot cos(45^o)+sen(45^o)\cdot cos(60^o)

Agora veja que conhecemos os valores de seno e cosseno para os ângulos de 60^o e de 45^o. Assim, temos:

sen(60^o+45^o)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{1}{2}

sen(60^o+45^o)=\dfrac{\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}

sen(60^o+45^o)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Exemplo: Calcule o valor de tg(15^o).

Primeiramente, note que 15=45-30, logo temos que tg(15^o)=tg(45^o-30^o). Assim, usando a fórmula para a subtração de arcos, temos:

tg(45^o-30^o)=\dfrac{tg(45^o)-tg(30^o)}{1+tg(45^o)\cdot tg(30^o)}

Agora veja que conhecemos os valores da tangente para os ângulos de 45^o e de 30^o. Assim, temos:

tg(45^o-30^o)=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1+\left(1\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)}

Fazendo o MMC no numerador e no denominador, temos:

tg(45^o-30^o)=\dfrac{\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}}

Fazendo a divisão das frações:

tg(45^o-30^o)=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}\cdot \dfrac{3}{3+\sqrt{3}}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}

Agora racionalizando temos:

tg(45^o-30^o)= \dfrac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\cdot \dfrac{(3-\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})}=\dfrac{(3-\sqrt{3})^2}{9-3}

tg(45^o-30^o)=\dfrac{12-6\sqrt{3}}{6}

Simplificando, temos:

tg(15^o)=2-\sqrt{3}

Referência:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

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