Função Tangente

A função tangente é uma função f:\mathbb{R}-\{(2n+1)\dfrac{\pi}{2}\}\rightarrow \mathbb{R} com n\in\mathbb{Z}, tal que f(x)=tg(x). A função tangente é periódica com período p=\pi, o que significa que a cada vez que somamos \pi radianos no argumento da função, o valor da função f(x) se repete .Para entender melhor isso, vamos nos lembrar dos valores da função tangente para ângulos notáveis e do círculo trigonométrico.

30^o45^o60^o
tg(x)\dfrac{\sqrt{3}}{3}1\sqrt{3}

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Pela imagem, podemos ver que temos:

  • tg(30^o)=tg(210^o), lembrando que 30^o=\dfrac{\pi}{6} radianos, e 210^o=\dfrac{7\pi}{6} radianos.
  • tg(45^o)=tg(225^o), lembrando que 45^o=\dfrac{\pi}{4} radianos, e 225^o=\dfrac{5\pi}{4} radianos.
  • tg(60^o)=tg(240^o), lembrando que 60^o=\dfrac{\pi}{3} radianos e 240^o=\dfrac{4\pi}{3} radianos.
  • tg(120^o)=tg(300^o), lembrando que 120^o=\dfrac{2\pi}{3} radianos e 300^o=\dfrac{5\pi}{3} radianos.
  • tg(135^o)=tg(315^o), lembrando que 135^o=\dfrac{3\pi}{4} radianos e 315^o=\dfrac{7\pi}{4} radianos.
  • tg(150^o)=tg(330^o), lembrando que 150^o=\dfrac{5\pi}{6} radianos e 330^o=\dfrac{11\pi}{6} radianos.

OBS: Para verificar as igualdades entre graus e radianos, basta substituir \pi por 180^o e fazer as contas.

Assim, podemos montar o gráfico da função tangente:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

  • A função tangente não é uma função par, pois em geral não temos f(-x)=f(x).
  • A função tangente é uma função ímpar, pois temos f(-x)=-f(x). Isso pode ser exemplificado vendo que tg(-30^o)=-tg(30^o)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
  • A função tangente não é injetora pois não podemos garantir que, dados x_1\neq x_2 teremos y_1\neq y_2. Isso pode ser exemplificado tomando x_1=\dfrac{\pi}{3} e x_2=\dfrac{4\pi}{3}. Neste caso teremos y_1 = y_2 = \sqrt{3}.
  • A função tangente é sobrejetora, pois o contradomínio é igual a imagem, ou seja:

\forall y\in\mathbb{R}, \ \exists \ x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y.

  • Logo a função tangente não é bijetora.

OBS: Se formos cautelosos, e definirmos a função tangente como f:\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right) \rightarrow \mathbb{R}, tal que f(x)=tg(x), então a função tangente será bijetora.

Referências:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
  • Geogebra©, disponível em https://www.geogebra.org, 2020.

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