Função Cosseno

A função Cosseno é uma função f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} tal que f(x)=cos(x). A função cosseno é periódica, com período p=2\pi, isso significa que a cada vez que somamos 2\pi no argumento da função, o valor da função f(x) se repete. Para entender melhor isso, vamos nos lembrar dos valores da função cosseno para ângulos notáveis e do círculo trigonométrico.

30^o45^o60^o
cos(x)\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{1}{2}

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Podemos ver pela imagem que temos:

  • cos(30^o )=cos(330^o), lembrando que 30^o = \dfrac{\pi}{6} radianos, e 330^o = \dfrac{11\pi}{6} radianos;
  • cos(45^o )=cos(315^o ), lembrando que 45^o = \dfrac{\pi}{4} radianos, e 315^o = \dfrac{7\pi}{4} radianos;
  • cos(60^o )=cos(300^o ), lembrando que 60^o = \dfrac{\pi}{3} radianos, e 300^o = \dfrac{5\pi}{3} radianos;
  • cos(120^o )=cos(240^o ), lembrando que 120^o = \dfrac{2\pi}{3} radianos, e 240^o = \dfrac{4\pi}{3} radianos;
  • cos(135^o )=cos(225^o ), lembrando que 135^o = \dfrac{3\pi}{4} radianos, e 225^o = \dfrac{5\pi}{4} radianos;
  • cos(150^o )=cos(210^o ), lembrando que 150^o = \dfrac{5\pi}{6} radianos, e 210^o = \dfrac{7\pi}{6} radianos.

OBS: Para verificar as igualdades entre graus e radianos, basta substituir \pi por 180^o e fazer as contas.

Assim, podemos montar o gráfico da função Cosseno:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

  • A função cosseno é uma função par, pois temos f(-x)=f(x). Veja por exemplo que cos(30^o)=cos(-30^o).
  • A função cosseno não é uma função ímpar, pois em geral não temos f(-x)=-f(x).
  • A função cosseno não é injetora pois não podemos garantir que dados x_1 \neq x_2 teremos y_1 \neq y_2. Podemos exemplificar isso tomando x_1=\dfrac{\pi}{4} e x_2=\dfrac{7\pi}{4}. Neste caso teremos y_1=y_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • A função cosseno não é sobrejetora, pois não temos o contradomínio da função igual a sua imagem, ou seja:

\forall y\in\mathbb{R}, \ \exists \ x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y.

  • Portanto a função cosseno não é uma função bijetora.

OBS: Se formos cautelosos, e definirmos a função cosseno como f:\left[  0, \pi \right]\rightarrow \left[ -1, 1 \right], tal que f(x)=cos(x), então a função cosseno será bijetora.

Referências:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
  • Geogebra©, disponível em https://www.geogebra.org, 2020.

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