Função Seno

A função seno é uma função $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x)=sen(x)$ . A função seno é periódica, com período $p=2\pi$ , isto significa que a cada vez que somamos $2\pi$ no argumento da função, o valor de $f(x)$ se repete. Para entender melhor tudo isso, vamos nos lembrar dos valores de seno para ângulos notáveis e do círculo trigonométrico.

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Podemos ver pela imagem que temos:

$sen(30^o )=sen(150^o)$ , lembrando que $30^o = \dfrac{\pi}{6}$ radianos, e $150^o = \dfrac{5\pi}{6}$ radianos;
$sen(45^o )=sen(135^o )$ , lembrando que $45^o = \dfrac{\pi}{4}$ radianos, e $135^o = \dfrac{3\pi}{4}$ radianos;
$sen(60^o )=sen(120^o )$ , lembrando que $60^o = \dfrac{\pi}{3}$ radianos, e $120^o = \dfrac{2\pi}{3}$ radianos;
$sen(210^o )=sen(330^o )$ , lembrando que $210^o = \dfrac{7\pi}{6}$ radianos, e $330^o = \dfrac{11\pi}{6}$ radianos;
$sen(225^o )=sen(315^o )$ , lembrando que $225^o = \dfrac{5\pi}{4}$ radianos, e $315^o = \dfrac{7\pi}{4}$ radianos;
$sen(240^o )=sen(300^o )$ , lembrando que $240^o = \dfrac{4\pi}{3}$ radianos, e $300^o = \dfrac{5\pi}{3}$ radianos.

OBS: Para verificar as igualdades entre graus e radianos, basta substituir $\pi$ por $180^o$ e fazer as contas.

Assim podemos montar o gráfico da função seno:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

A função seno é uma função ímpar pois, como podemos ver no círculo trigonométrico e no gráfico de $f(x)$ , temos que $sen(-x)=-sen(x)$ .
A função seno não é uma função par, pois em geral não temos $sen(-x)=sen(x)$ .
A função seno não é injetora, pois não podemos garantir que dados $x_1\neq x_2$ teremos $f(x_1)\neq f(x_2)$ . Podemos exemplificar isso tomando $x_1 = \dfrac{\pi}{6}$ e $x_2=\dfrac{5\pi}{6}$ e verificar que teremos $f(x_1)=f(x_2)=\dfrac{1}{2}$ .
A função seno não é sobrejetora, pois não temos o contradomínio da função igual a sua imagem, ou seja:

$\forall y\in [-1,1] \ \exists x\in \mathbb{R}$ tal que $f(x)=y$

Portanto, a função seno não é uma função bijetora.

OBS: Se formos cautelosos, e definirmos a função seno como $f:\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]\rightarrow \left[ -1, 1 \right]$ , tal que $f(x)=sen(x)$ , então a função seno será bijetora.