Função Seno

A função seno é uma função f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} tal que f(x)=sen(x). A função seno é periódica, com período p=2\pi, isto significa que a cada vez que somamos 2\pi no argumento da função, o valor de f(x) se repete. Para entender melhor tudo isso, vamos nos lembrar dos valores de seno para ângulos notáveis e do círculo trigonométrico.

30^o45^o60^o
Sen\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Podemos ver pela imagem que temos:

  • sen(30^o )=sen(150^o), lembrando que 30^o = \dfrac{\pi}{6} radianos, e 150^o = \dfrac{5\pi}{6} radianos;
  • sen(45^o )=sen(135^o ), lembrando que 45^o = \dfrac{\pi}{4} radianos, e 135^o = \dfrac{3\pi}{4} radianos;
  • sen(60^o )=sen(120^o ), lembrando que 60^o = \dfrac{\pi}{3} radianos, e 120^o = \dfrac{2\pi}{3} radianos;
  • sen(210^o )=sen(330^o ), lembrando que 210^o = \dfrac{7\pi}{6} radianos, e 330^o = \dfrac{11\pi}{6} radianos;
  • sen(225^o )=sen(315^o ), lembrando que 225^o = \dfrac{5\pi}{4} radianos, e 315^o = \dfrac{7\pi}{4} radianos;
  • sen(240^o )=sen(300^o ), lembrando que 240^o = \dfrac{4\pi}{3} radianos, e 300^o = \dfrac{5\pi}{3} radianos.

OBS: Para verificar as igualdades entre graus e radianos, basta substituir \pi por 180^o e fazer as contas.

Assim podemos montar o gráfico da função seno:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

  • A função seno é uma função ímpar pois, como podemos ver no círculo trigonométrico e no gráfico de f(x), temos que sen(-x)=-sen(x).
  • A função seno não é uma função par, pois em geral não temos sen(-x)=sen(x).
  • A função seno não é injetora, pois não podemos garantir que dados x_1\neq x_2 teremos f(x_1)\neq f(x_2). Podemos exemplificar isso tomando x_1 = \dfrac{\pi}{6} e x_2=\dfrac{5\pi}{6} e verificar que teremos f(x_1)=f(x_2)=\dfrac{1}{2}.
  • A função seno não é sobrejetora, pois não temos o contradomínio da função igual a sua imagem, ou seja:

\forall y\in [-1,1] \ \exists x\in \mathbb{R} tal que f(x)=y

  • Portanto, a função seno não é uma função bijetora.

OBS: Se formos cautelosos, e definirmos a função seno como f:\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]\rightarrow \left[ -1, 1 \right], tal que f(x)=sen(x), então a função seno será bijetora.

Referências:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
  • Geogebra©, disponível em https://www.geogebra.org, 2020.

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