Seno, Cosseno e Tangente para Ângulos Notáveis

Antes de falar dos valores de Seno, Cosseno e Tangente para ângulos notáveis, devemos nos lembrar das relações trigonométricas no triângulo retângulo.

$sen(\alpha)=\dfrac{Cateto \ Oposto}{Hipotenusa}$

$cos(\alpha)=\dfrac{Cateto \ Adjacente}{Hipotenusa}$

$tg(\alpha)=\dfrac{Cateto \ Oposto}{Cateto \ Adjacente}$

Assim, se representarmos um ângulo $\alpha>0$ qualquer no círculo unitário, temos:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Note que usando o ângulo $\alpha$ podemos determinar um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é o raio da circunferência (como estamos tralhando com o círculo unitário, temos que $r=1$ ) O cateto oposto está marcado em vermelho tracejado e o cateto adjacente está marcado em verde. Assim, usando as relações trigonométricas, podemos determinar que o comprimento do cateto oposto será o valor de $sen(\alpha)$ , o comprimento do cateto adjacente será o valor de $cos(\alpha)$ e o comprimento do segmento tracejado azul tangente a circunferência será a $tg(\alpha)$ .

Agora que entendemos os conceitos de $Sen$ , $Cos$ e $Tg$ no círculo unitário, vamos nos lembrar dos valores de $Sen$ , $Cos$ e $Tg$ para os ângulos notáveis de $30^o$ , $45^o$ e $60^o$ .

Porém, estes ângulos estão todos no primeiro quadrante. Vamos ver agora como fazemos para determinar os valores de $Sen$ , $Cos$ e $Tg$ dos ângulos notáveis no resto do círculo:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Acima podemos ver, no sentido anti-horário, os ângulos de $30^o$ , $150^o$ , $210^o$ e $330^o$ . Note que:

$sen(30^o)=sen(150^o)$
$sen(30^o)=-sen(330^o)$
$cos(30^o)=cos(330^o)$
$cos(30^o)=-cos(150^o)$
$sen(30^o)=-sen(210^o)$
$cos(30^o)=-cos(210^o)$

OBS: Note que $150=180-30$ , que $210=180+30$ e que $330=360-30$

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Acima podemos ver, no sentido anti-horário, os ângulos de $45^o$ , $135^o$ , $225^o$ e $315^o$ . Note que:

$sen(45^o)=sen(135^o)$
$sen(45^o)=-sen(315^o)$
$cos(45^o)=cos(315^o)$
$cos(45^o)=-cos(135^o)$
$sen(45^o)=-sen(225^o)$
$cos(45^o)=-cos(225^o)$

OBS: Note que $135=180-45$ , que $225=180+45$ e que $315=360-45$

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Acima podemos ver, no sentido anti-horário, os ângulos de $60^o$ , $120^o$ , $240^o$ e $300^o$ . Note que:

$sen(60^o)=sen(120^o)$
$sen(60^o)=-sen(300^o)$
$cos(60^o)=cos(300^o)$
$cos(60^o)=-cos(120^o)$
$sen(60^o)=-sen(240^o)$
$cos(60^o)=-cos(240^o)$

OBS: Note que $120=180-60$ , que $240=180+60$ e que $300=360-60$

Na imagem acima temos o círculo trigonométrico com os múltiplos dos ângulos notáveis do primeiro quadrante. A única coisa agora que falta notar é que:

$sen(0^o)=sen(180^o)=sen(360^o)=0$
$cos(0^o)=cos(360^o)=1$
$sen(90^o)=1$
$cos(90^o)=cos(270^o)=0$
$cos(180^o)=-1$
$sen(270^o)=-1$

Referências:

IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

VEJA MAIS:

função seno

função cosseno

função tangente

	$30^o$	$45^o$	$60^o$
$Sen$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$Cos$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$Tg$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

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Publicado por MeioPixel