Seno, Cosseno e Tangente para Ângulos Notáveis

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Antes de falar dos valores de Seno, Cosseno e Tangente para ângulos notáveis, devemos nos lembrar das relações trigonométricas no triângulo retângulo.

sen(\alpha)=\dfrac{Cateto \ Oposto}{Hipotenusa}

cos(\alpha)=\dfrac{Cateto \ Adjacente}{Hipotenusa}

tg(\alpha)=\dfrac{Cateto \ Oposto}{Cateto \ Adjacente}

Assim, se representarmos um ângulo \alpha>0 qualquer no círculo unitário, temos:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Note que usando o ângulo \alpha podemos determinar um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é o raio da circunferência (como estamos tralhando com o círculo unitário, temos que r=1) O cateto oposto está marcado em vermelho tracejado e o cateto adjacente está marcado em verde. Assim, usando as relações trigonométricas, podemos determinar que o comprimento do cateto oposto será o valor de sen(\alpha), o comprimento do cateto adjacente será o valor de cos(\alpha) e o comprimento do segmento tracejado azul tangente a circunferência será a tg(\alpha).

Agora que entendemos os conceitos de Sen, Cos e Tg no círculo unitário, vamos nos lembrar dos valores de Sen, Cos e Tg para os ângulos notáveis de 30^o, 45^o e 60^o.

30^o45^o60^o
Sen\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Cos\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{1}{2}
Tg\dfrac{\sqrt{3}}{3}1\sqrt{3}

Porém, estes ângulos estão todos no primeiro quadrante. Vamos ver agora como fazemos para determinar os valores de Sen, Cos e Tg dos ângulos notáveis no resto do círculo:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Acima podemos ver, no sentido anti-horário, os ângulos de 30^o, 150^o, 210^o e 330^o. Note que:

  • sen(30^o)=sen(150^o)
  • sen(30^o)=-sen(330^o)
  • cos(30^o)=cos(330^o)
  • cos(30^o)=-cos(150^o)
  • sen(30^o)=-sen(210^o)
  • cos(30^o)=-cos(210^o)

OBS: Note que 150=180-30, que 210=180+30 e que 330=360-30

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Acima podemos ver, no sentido anti-horário, os ângulos de 45^o, 135^o, 225^o e 315^o. Note que:

  • sen(45^o)=sen(135^o)
  • sen(45^o)=-sen(315^o)
  • cos(45^o)=cos(315^o)
  • cos(45^o)=-cos(135^o)
  • sen(45^o)=-sen(225^o)
  • cos(45^o)=-cos(225^o)

OBS: Note que 135=180-45, que 225=180+45 e que 315=360-45

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Acima podemos ver, no sentido anti-horário, os ângulos de 60^o, 120^o, 240^o e 300^o. Note que:

  • sen(60^o)=sen(120^o)
  • sen(60^o)=-sen(300^o)
  • cos(60^o)=cos(300^o)
  • cos(60^o)=-cos(120^o)
  • sen(60^o)=-sen(240^o)
  • cos(60^o)=-cos(240^o)

OBS: Note que 120=180-60, que 240=180+60 e que 300=360-60

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Na imagem acima temos o círculo trigonométrico com os múltiplos dos ângulos notáveis do primeiro quadrante. A única coisa agora que falta notar é que:

  • sen(0^o)=sen(180^o)=sen(360^o)=0
  • cos(0^o)=cos(360^o)=1
  • sen(90^o)=1
  • cos(90^o)=cos(270^o)=0
  • cos(180^o)=-1
  • sen(270^o)=-1

Referências:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 2. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
  • Geogebra©, disponível em https://www.geogebra.org, 2020.

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