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Progressão Geométrica

Uma Progressão Geométrica (ou P.G.) é uma sequência numérica , com onde com .

Ou seja, se dividirmos o quinto termo pelo quarto termo, o resultado será o número real . Se dividirmos o décimo termo pelo nono termo, o resultado será . Em geral, se dividirmos qualquer número da sequência pelo seu antecessor, o resultado será .

Exemplo: a sequência é uma progressão geométrica, pois se tomarmos qualquer valor da sequência e dividirmos pelo seu antecessor o resultado é sempre

Exemplo: A sequência é uma progressão geométrica, pois se tomarmos qualquer valor da sequência e dividirmos pelo seu antecessor, o resultado é sempre

Em uma P.G., o valor constante que obtemos ao dividir um termo da P.G. pelo seu antecessor é chamado de razão da P.G.

Conhecer a razão de uma P.G. é importante pois, através da razão podemos determinar se uma P.G. é crescente, decrescente ou constante:

OBS: Note que se tivermos , teremos uma progressão geométrica alternada, ou seja, não pode ser classificada como estritamente crescente ou estritamente decrescente, pois teremos termos positivos e negativos alternadamente.

Termo Geral de uma Progressão Geométrica:

Quando definimos uma P.G., é comum exibirmos apenas os primeiros termos por uma questão de praticidade. Porém, há casos onde é interessante descobrir o valor de termos distantes da sequência. Para isso temos a fórmula do termo geral, que nos permite encontrar o valor do termo , para qualquer .

Exemplo: Encontre o 13 termo da progressão geométrica .

Primeiro vamos encontrar a razão dividindo o segundo termo pelo seu antecessor:

Agora, usando a fórmula do termo geral, temos:

Podemos perceber neste exemplo que progressões geométricas crescem extremamente rápido.

Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Geométrica:

Podemos calcular a soma dos primeiros termos de uma P.G. usando a seguinte fórmula:

OBS: Note que, se esta fórmula não pode ser usada, pois o resultado será uma indeterminação do tipo . Porém, note que se , teremos uma sequência do tipo , e assim, neste caso, a soma dos primeiros termos será , e portanto: . Portanto, se então a soma de termos será dada por

Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. .

Primeiro vamos encontrar a razão dividindo o segundo termo pelo seu antecessor:

Logo, como , temos que a soma dos 10 primeiros termos é dada por:

Soma dos Infinitos Termos de uma Progressão Geométrica:

A primeira coisa que devemos explicar aqui é que a soma dos infinitos termos de uma P.G. não pode ser calculada para qualquer progressão geométrica. Por exemplo, na P.G. a cada termo que é adicionado a soma cresce consideravelmente. Desta forma, não podemos atribuir um valor numérico para esta soma uma vez que conforme o número de termos aumenta, o valor da soma também aumenta de maneira ilimitada. Porém, veja agora esta outra P.G. . Note que conforme o número de termos aumenta, o valor da soma também aumenta, porém a diferença aqui é que estamos somando valores cada vez menores, de forma que a partir de certo ponto estes valores são tão pequenos que não causam mais impacto no valor da soma. Assim temos que a soma dos infinitos termos de uma P.G. só pode ser calculada se . A soma dos infinitos termos de uma P.G. é dada por:

, com

Exemplo: Vamos calcular a soma de alguns dos primeiros termos da P.G. :

Veja que, embora os valores estejam aumentando, eles aumentam menos e menos a cada valor adicionado. Por causa disso, embora estejamos nos aproximando do valor 2, na verdade nós não conseguimos obter o valor 2 com uma soma finita. Veja, acima nós somamos os 7 primeiros termos e já estamos bem próximos do valor 2. Vamos calcular a soma dos 10 primeiros termos e ver o que acontece:

Agora veja que a soma dos infinitos termos é dada por:

Referência:

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