Progressão Geométrica

Uma Progressão Geométrica (ou P.G.) é uma sequência numérica a_0, \ a_1, \ a_2, \ a_3, \ \cdots \ a_n, com a_i \in \mathbb{R} onde \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=r com r\in\mathbb{R}.

Ou seja, se dividirmos o quinto termo pelo quarto termo, o resultado será o número real r. Se dividirmos o décimo termo pelo nono termo, o resultado será r. Em geral, se dividirmos qualquer número da sequência pelo seu antecessor, o resultado será r.

Exemplo: a sequência S=\{ 2, \ 6, \ 18, 54, \ \cdots \} é uma progressão geométrica, pois se tomarmos qualquer valor da sequência e dividirmos pelo seu antecessor o resultado é sempre r=3

Exemplo: A sequência S=\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{8}, \ \cdots \} é uma progressão geométrica, pois se tomarmos qualquer valor da sequência e dividirmos pelo seu antecessor, o resultado é sempre r=\frac{1}{2}

Em uma P.G., o valor constante r que obtemos ao dividir um termo da P.G. pelo seu antecessor é chamado de razão da P.G.

Conhecer a razão de uma P.G. é importante pois, através da razão podemos determinar se uma P.G. é crescente, decrescente ou constante:

  • Se r>1 e a_1>0 então a P.G. é crescente, ou seja, a_{n+1}>a_n;
  • Se 0<r<1 e a_1<0 então a P.G. é crescente, ou seja, a_{n+1}>a_n;
  • Se 0<r<1 e a_1>0 então a P.G. é decrescente, ou seja, a_{n+1}<a_n;
  • Se r>1 e a_1<0 então a P.G. é decrescente, ou seja, a_{n+1}<a_n;
  • Se r=1 então a P.G. é constante, ou seja, a_{n+1}=a_n.

OBS: Note que se tivermos r<0, teremos uma progressão geométrica alternada, ou seja, não pode ser classificada como estritamente crescente ou estritamente decrescente, pois teremos termos positivos e negativos alternadamente.

Termo Geral de uma Progressão Geométrica:

Quando definimos uma P.G., é comum exibirmos apenas os primeiros termos por uma questão de praticidade. Porém, há casos onde é interessante descobrir o valor de termos distantes da sequência. Para isso temos a fórmula do termo geral, que nos permite encontrar o valor do termo a_n, para qualquer n\in\mathbb{N}.

a_n=a_1\cdot r^{(n-1)}

Exemplo: Encontre o 13 termo da progressão geométrica S=\{ 3, \ 6, \ 12, \ \cdots \}.

Primeiro vamos encontrar a razão r dividindo o segundo termo pelo seu antecessor:

r=\dfrac{6}{3}=2

Agora, usando a fórmula do termo geral, temos:

a_{13}=3\cdot 2^{12}

a_{13}=3\cdot 4096

a_{13}=12288

Podemos perceber neste exemplo que progressões geométricas crescem extremamente rápido.

Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Geométrica:

Podemos calcular a soma S_n dos n primeiros termos de uma P.G. usando a seguinte fórmula:

S_n=\dfrac{a_1\cdot (r^n-1)}{r-1}

OBS: Note que, se r=1 esta fórmula não pode ser usada, pois o resultado será uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}. Porém, note que se r=1, teremos uma sequência do tipo S=\{ 5, \ 5, \ 5, \ 5, \cdots \}, e assim, neste caso, a soma dos n primeiros termos será S_n=\underbrace{5+5+5+5+\cdots}_{n \ somas}, e portanto: S_n=5\cdot n. Portanto, se r=1 então a soma de n termos será dada por S_n=a_1\cdot n

Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. S=\{ 1, \ 3, \ 9, \ 27, \cdots \}.

Primeiro vamos encontrar a razão r dividindo o segundo termo pelo seu antecessor:

r=\dfrac{3}{1}=3

Logo, como r\neq 1, temos que a soma S_{10} dos 10 primeiros termos é dada por:

S_{10}=\dfrac{1\cdot (3^{10}-1)}{3-1}

S_{10}=\dfrac{59049-1}{2}

S_{10}=29524

Soma dos Infinitos Termos de uma Progressão Geométrica:

A primeira coisa que devemos explicar aqui é que a soma dos infinitos termos de uma P.G. não pode ser calculada para qualquer progressão geométrica. Por exemplo, na P.G. S=\{ 1,\ 2, \ 4, \ 8, \cdots \} a cada termo que é adicionado a soma cresce consideravelmente. Desta forma, não podemos atribuir um valor numérico para esta soma uma vez que conforme o número de termos aumenta, o valor da soma também aumenta de maneira ilimitada. Porém, veja agora esta outra P.G. S=\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{8}, \cdots \}. Note que conforme o número de termos aumenta, o valor da soma também aumenta, porém a diferença aqui é que estamos somando valores cada vez menores, de forma que a partir de certo ponto estes valores são tão pequenos que não causam mais impacto no valor da soma. Assim temos que a soma dos infinitos termos de uma P.G. só pode ser calculada se -1<r<1. A soma dos infinitos termos de uma P.G. é dada por:

S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}, com -1<r<1

Exemplo: Vamos calcular a soma de alguns dos primeiros termos da P.G. S=\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{8}, \cdots \}:

S_2=1+\dfrac{1}{2}=1,5

S_3=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=1,75

S_4=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=1,875

S_5=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}=1,9375

S_6=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}=1,96875

S_7=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}=1,984375

Veja que, embora os valores estejam aumentando, eles aumentam menos e menos a cada valor adicionado. Por causa disso, embora estejamos nos aproximando do valor 2, na verdade nós não conseguimos obter o valor 2 com uma soma finita. Veja, acima nós somamos os 7 primeiros termos e já estamos bem próximos do valor 2. Vamos calcular a soma dos 10 primeiros termos e ver o que acontece:

S_{10}=\dfrac{1\cdot ((\frac{1}{2})^{10}-1)}{\frac{1}{2}-1}=\dfrac{511}{256}<2

Agora veja que a soma dos infinitos termos é dada por:

S_{\infty}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2

Referência:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 1. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

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