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Progressão Aritmética

Uma Progressão Aritmética (ou P.A.) é uma sequência de números com , tais que com .

Ou seja, tomarmos o quarto termo e subtrairmos o terceiro, o resultado será . Se tomarmos o sétimo termo e subtrairmos o sexto, o resultado será . Em geral, se tomarmos qualquer termo e subtrairmos seu antecessor, o resultado sempre será o mesmo valor .

Exemplo: A sequência é uma progressão aritmética, pois se tomarmos qualquer valor da sequência e subtrairmos seu antecessor o resultado é sempre .

Exemplo: A sequência também é uma progressão aritmética, pois se tomarmos qualquer valor e subtrairmos seu antecessor o resultado é sempre .

Em uma P.A. o valor constante que obtemos ao subtrair de um número o seu antecessor é chamado de razão da progressão aritmética.

Conhecer a razão de uma P.A. é importante pois através da razão nós podemos determinar se uma P.A. é crescente, decrescente ou constante:

Termo Geral de Uma Progressão Aritmética:

Muitas vezes quando definimos uma P.A., nós exibimos apenas os primeiros termos, por uma questão de praticidade. Mas há casos onde é interessante descobrir termos distantes do início da sequência, e para isso, temos uma fórmula que nos permite encontrar qualquer termo da sequência que desejarmos:

Exemplo: Encontre o termo de número 1500 na sequência .

Veja que esta é uma progressão aritmética de razão , pois e . Assim, usando a fórmula do termo geral, temos:

Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Aritmética:

Podemos calcular a soma dos primeiros termos de uma P.A. usando a seguinte fórmula:

Onde é o primeiro termo da P.A., é o n-ésimo termo da P.A. e é o número de termos que estão sendo somados.

Exemplo: Encontre a soma dos 25 primeiros termos da sequência .

Note que a sequência definida acima é uma progressão aritmética de razão dois, pois e . Veja que descobrimos também que a razão desta P.A. é . Assim, usando a fórmula da soma da P.A., temos:

Vemos que para calcular a soma dos 30 primeiros termos, devemos antes saber qual é o termo de número 30. Assim, usando a fórmula do termo geral, temos:

agora substituindo este valor na fórmula da soma da P.A. temos:

Referência:

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