Uma Progressão Aritmética (ou P.A.) é uma sequência de números com
, tais que
com
.
Ou seja, tomarmos o quarto termo e subtrairmos o terceiro, o resultado será . Se tomarmos o sétimo termo e subtrairmos o sexto, o resultado será
. Em geral, se tomarmos qualquer termo e subtrairmos seu antecessor, o resultado sempre será o mesmo valor
.
Exemplo: A sequência é uma progressão aritmética, pois se tomarmos qualquer valor da sequência e subtrairmos seu antecessor o resultado é sempre
.
Exemplo: A sequência também é uma progressão aritmética, pois se tomarmos qualquer valor e subtrairmos seu antecessor o resultado é sempre
.
Em uma P.A. o valor constante que obtemos ao subtrair de um número o seu antecessor é chamado de razão da progressão aritmética.
Conhecer a razão de uma P.A. é importante pois através da razão nós podemos determinar se uma P.A. é crescente, decrescente ou constante:
- Se
, isso significa que a P.A. é crescente. Ou seja,
;
- Se
, isso significa que a P.A. é decrescente. Ou seja,
;
- Se
, isso significa que a P.A. é constante. Ou seja,
.
Termo Geral de Uma Progressão Aritmética:
Muitas vezes quando definimos uma P.A., nós exibimos apenas os primeiros termos, por uma questão de praticidade. Mas há casos onde é interessante descobrir termos distantes do início da sequência, e para isso, temos uma fórmula que nos permite encontrar qualquer termo da sequência que desejarmos:
Exemplo: Encontre o termo de número 1500 na sequência .
Veja que esta é uma progressão aritmética de razão , pois
e
. Assim, usando a fórmula do termo geral, temos:
Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Aritmética:
Podemos calcular a soma dos
primeiros termos de uma P.A. usando a seguinte fórmula:
Onde é o primeiro termo da P.A.,
é o n-ésimo termo da P.A. e
é o número de termos que estão sendo somados.
Exemplo: Encontre a soma dos 25 primeiros termos da sequência .
Note que a sequência definida acima é uma progressão aritmética de razão dois, pois
e
. Veja que descobrimos também que a razão
desta P.A. é
. Assim, usando a fórmula da soma da P.A., temos:
Vemos que para calcular a soma dos 30 primeiros termos, devemos antes saber qual é o termo de número 30. Assim, usando a fórmula do termo geral, temos:
agora substituindo este valor na fórmula da soma da P.A. temos:
Referência:
- IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 1. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
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