Progressão Aritmética

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Uma Progressão Aritmética (ou P.A.) é uma sequência de números a_0, \ a_1, \ a_2, \ a_3, \cdots , \ a_n com a_i \in \mathbb{R}, tais que a_{n+1}-a_n=r com r \in \mathbb{R}.

Ou seja, tomarmos o quarto termo e subtrairmos o terceiro, o resultado será r. Se tomarmos o sétimo termo e subtrairmos o sexto, o resultado será r. Em geral, se tomarmos qualquer termo e subtrairmos seu antecessor, o resultado sempre será o mesmo valor r.

Exemplo: A sequência S=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\} é uma progressão aritmética, pois se tomarmos qualquer valor da sequência e subtrairmos seu antecessor o resultado é sempre 1.

Exemplo: A sequência S=\{ 2, \ 1, \ 0, \ -1, \ -2 \} também é uma progressão aritmética, pois se tomarmos qualquer valor e subtrairmos seu antecessor o resultado é sempre -1.

Em uma P.A. o valor r constante que obtemos ao subtrair de um número o seu antecessor é chamado de razão da progressão aritmética.

Conhecer a razão de uma P.A. é importante pois através da razão nós podemos determinar se uma P.A. é crescente, decrescente ou constante:

  • Se r>0, isso significa que a P.A. é crescente. Ou seja, a_{n+1}>a_n;
  • Se r<0, isso significa que a P.A. é decrescente. Ou seja, a_{n+1}<a_n;
  • Se r=0, isso significa que a P.A. é constante. Ou seja, a_{n+1}=a_n.

Termo Geral de Uma Progressão Aritmética:

Muitas vezes quando definimos uma P.A., nós exibimos apenas os primeiros termos, por uma questão de praticidade. Mas há casos onde é interessante descobrir termos distantes do início da sequência, e para isso, temos uma fórmula que nos permite encontrar qualquer termo a_n da sequência que desejarmos:

a_n=a_1 +(n-1)\cdot r

Exemplo: Encontre o termo de número 1500 na sequência S=\{2, \ 5, \ 8, \ \cdots \}.

Veja que esta é uma progressão aritmética de razão r=3, pois 5-2=3 e 8-5=3. Assim, usando a fórmula do termo geral, temos:

a_{1500}=2+(1500-1)\cdot 3

a_{1500}=2+1499\cdot 3

a_{1500}=2+4497=4499

Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Aritmética:

Podemos calcular a soma S_n dos n primeiros termos de uma P.A. usando a seguinte fórmula:

S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}

Onde a_1 é o primeiro termo da P.A., a_n é o n-ésimo termo da P.A. e n é o número de termos que estão sendo somados.

Exemplo: Encontre a soma dos 25 primeiros termos da sequência S=\{ 3, \ 5, \ 7, \ \cdots \}.

Note que a sequência S definida acima é uma progressão aritmética de razão dois, pois 5-3=2 e 7-5=2. Veja que descobrimos também que a razão r desta P.A. é r=2. Assim, usando a fórmula da soma da P.A., temos:

S_{30}=\dfrac{(3+a_{30})\cdot 30}{2}

Vemos que para calcular a soma dos 30 primeiros termos, devemos antes saber qual é o termo de número 30. Assim, usando a fórmula do termo geral, temos:

a_{30}=3+(30-1)\cdot 2

a_{30}=3+29\cdot 2=61

agora substituindo este valor na fórmula da soma da P.A. temos:

S_{30}=\dfrac{(3+61)\cdot 30}{2}

S_{30}=\dfrac{64\cdot 30}{2}=64\cdot 15

S_{30}=960

Referência:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 1. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

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