Progressão Aritmética

Uma Progressão Aritmética (ou P.A.) é uma sequência de números $a_0, \ a_1, \ a_2, \ a_3, \cdots , \ a_n$ com $a_i \in \mathbb{R}$ , tais que $a_{n+1}-a_n=r$ com $r \in \mathbb{R}$ .

Ou seja, tomarmos o quarto termo e subtrairmos o terceiro, o resultado será $r$ . Se tomarmos o sétimo termo e subtrairmos o sexto, o resultado será $r$ . Em geral, se tomarmos qualquer termo e subtrairmos seu antecessor, o resultado sempre será o mesmo valor $r$ .

Exemplo: A sequência $S=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\}$ é uma progressão aritmética, pois se tomarmos qualquer valor da sequência e subtrairmos seu antecessor o resultado é sempre $1$ .

Exemplo: A sequência $S=\{ 2, \ 1, \ 0, \ -1, \ -2 \}$ também é uma progressão aritmética, pois se tomarmos qualquer valor e subtrairmos seu antecessor o resultado é sempre $-1$ .

Em uma P.A. o valor $r$ constante que obtemos ao subtrair de um número o seu antecessor é chamado de razão da progressão aritmética.

Conhecer a razão de uma P.A. é importante pois através da razão nós podemos determinar se uma P.A. é crescente, decrescente ou constante:

Se $r>0$ , isso significa que a P.A. é crescente. Ou seja, $a_{n+1}>a_n$ ;
Se $r<0$ , isso significa que a P.A. é decrescente. Ou seja, $a_{n+1}<a_n$ ;
Se $r=0$ , isso significa que a P.A. é constante. Ou seja, $a_{n+1}=a_n$ .

Termo Geral de Uma Progressão Aritmética:

Muitas vezes quando definimos uma P.A., nós exibimos apenas os primeiros termos, por uma questão de praticidade. Mas há casos onde é interessante descobrir termos distantes do início da sequência, e para isso, temos uma fórmula que nos permite encontrar qualquer termo $a_n$ da sequência que desejarmos:

$a_n=a_1 +(n-1)\cdot r$

Exemplo: Encontre o termo de número 1500 na sequência $S=\{2, \ 5, \ 8, \ \cdots \}$ .

Veja que esta é uma progressão aritmética de razão $r=3$ , pois $5-2=3$ e $8-5=3$ . Assim, usando a fórmula do termo geral, temos:

$a_{1500}=2+(1500-1)\cdot 3$

$a_{1500}=2+1499\cdot 3$

$a_{1500}=2+4497=4499$

Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Aritmética:

Podemos calcular a soma $S_n$ dos $n$ primeiros termos de uma P.A. usando a seguinte fórmula:

$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$

Onde $a_1$ é o primeiro termo da P.A., $a_n$ é o n-ésimo termo da P.A. e $n$ é o número de termos que estão sendo somados.

Exemplo: Encontre a soma dos 25 primeiros termos da sequência $S=\{ 3, \ 5, \ 7, \ \cdots \}$ .

Note que a sequência $S$ definida acima é uma progressão aritmética de razão dois, pois $5-3=2$ e $7-5=2$ . Veja que descobrimos também que a razão $r$ desta P.A. é $r=2$ . Assim, usando a fórmula da soma da P.A., temos:

$S_{30}=\dfrac{(3+a_{30})\cdot 30}{2}$

Vemos que para calcular a soma dos 30 primeiros termos, devemos antes saber qual é o termo de número 30. Assim, usando a fórmula do termo geral, temos:

$a_{30}=3+(30-1)\cdot 2$