Teorema da Bissetriz Interna

Antes de falar sobre o teorema, primeiro devemos nos lembrar do que é a Bissetriz de um ângulo: A Bissetriz é uma reta que divide um ângulo em dois ângulos de mesma medida. Se este for um ângulo interno de um triângulo, então a bissetriz também liga um dos vértices do triângulo ao lado oposto a este vértice.

Agora que sabemos o que é a bissetriz, podemos ver o que diz o Teorema da Bissetriz Interna e compreende-lo.

Teorema: Seja o Triângulo \triangle ABC. Seja D um ponto tal que D\in \overline{BC}. Se a bissetriz do ângulo \hat{A} intercepta o segmento \overline{BC} no ponto D, então temos que:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{DC}}

Isto significa que, a proporção entre \overline{AB} e \overline{AC} é a mesma entre \overline{BD} e \overline{DC}.

Exemplo: No triângulo abaixo, o segmento AD é a bissetriz do ângulo \hat{A}. Sabendo disso, determine a medida do segmento \overline{BD}.

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Como nosso objetivo é determinar o comprimento do segmento \overline{BD}, vamos chamar \overline{BD}=x. Assim temos também que: \overline{CD}=6-x.

Agora usando o Teorema da Bissetriz Interna, temos:

\dfrac{5}{4}=\dfrac{x}{6-x}

Multiplicando em cruz, temos:

5\cdot (6-x) = 4x

30-5x=4x

30=9x

x=\dfrac{30}{9}=\dfrac{10}{3}

Exemplo: No triângulo abaixo, o segmento \overline{AD} é a bissetriz do ângulo \hat{A}. Se o segmento \overline{BD} mede \dfrac{15}{4}, calcule a medida do segmento \overline{BC}.

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Como \overline{AD} é a bissetriz do ângulo \hat{A}, podemos usar o teorema da bissetriz interna da seguinte forma:

\dfrac{5}{3}=\dfrac{\frac{15}{4}}{x}

Multiplicando em cruz, temos:

5x=\dfrac{45}{4}

x=\dfrac{45}{20}

Agora note que \overline{BC}=\overline{BD}+\overline{CD}\rightarrow \overline{BC}=\dfrac{15}{4}+x

\overline{BC}=\dfrac{15}{4}+\dfrac{45}{20}=\dfrac{75+45}{20}

\overline{BC}=\dfrac{120}{20}=6

Referências:

VEJA MAIS: