Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo nada mais são do que relações entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Assim, conhecendo algumas medidas do triângulo, podemos facilmente encontrar outras. Veja o triângulo retângulo abaixo:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Aqui temos um triângulo \triangle ABC com vértices A, B e C, catetos com medidas a e b e a hipotenusa medindo c. Neste triângulo também temos a altura h e o ponto H, que é o pé da altura do triângulo.

Com estes elementos temos as seguintes relações:

c^2=a^2+b^2c\cdot h = a\cdot b
a^2=c\cdot nb^2=c\cdot m
h^2=m\cdot nc=m+n

Vamos ver agora alguns exemplos de aplicação destas relações:

Exemplo: Calcule a altura do triângulo abaixo:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Primeiro, usamos a relação a^2=c\cdot n, então temos:

4^2=5\cdot n

16=5\cdot n

n=\dfrac{16}{5}

Lembrando que n é o segmento \overline{BH}, onde H é o pé da altura. E agora, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo \triangle CHB:

4^2=h^2=\left( \dfrac{16}{5} \right)^2

16=h^2+\dfrac{256}{25}

h^2=16-\dfrac{256}{25}

h^2=\dfrac{400-256}{25}=\dfrac{144}{25}

h=\dfrac{12}{5}

Exemplo: Determine a medida m no triângulo abaixo:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Primeiramente, vamos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o cateto b:

20^2=12^2+b^2

400=144+b^2

b^2=400-144=256

b=16

Agora vamos usar a relação: b^2=c\cdot m.

16^2=20\cdot m

256=20\cdot m

m=\dfrac{256}{20}=\dfrac{64}{5}

Referências:

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