Equação do Segundo Grau

Uma equação do segundo grau é uma equação da forma:

ax^2+bx+c=0

Onde, a, b e c\in\mathbb{R}.

Exemplo: x^2-2x+3=0

Exemplo: 2x^2-8x+2=-2

Resolvendo uma Equação do Segundo Grau: Para resolver uma equação do segundo grau, normalmente usamos a chamada Fórmula de Bhaskara:

x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

Onde,

\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c

Na fórmula de Bhaskara temos que a é o coeficiente do x^2, b é o coeficiente de x e c é o termo que está sozinho.

Uma equação do segundo grau pode ter zero, uma ou até duas soluções, dependendo do valor de \Delta.

OBS: \Delta é a letra grega maiúscula delta.

  • Se \Delta<0, a equação do segundo grau não terá nenhuma solução real, ou seja, não existe nenhum x no conjunto dos números reais que é solução daquela equação.
  • Se \Delta=0 a equação do segundo grau terá exatamente uma solução.
  • Se \Delta>0 a equação do segundo grau terá duas soluções distintas.

Exemplo: Resolva a equação x^2-6x-5=2

Primeiramente devemos igualar a equação a zero, então vamos subtrair 2 em ambos os lados. Assim:

x^2-6x-7=0

Agora vamos calcular \Delta:

\Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot (-7)

\Delta=36+28=64

Agora vamos usar este \Delta na fórmula de Bhaskara:

x_{1,2}=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{64}}{2\cdot 1}

x_{1,2}=\dfrac{6\pm8}{2}

Assim temos as duas soluções:

x_1=\dfrac{6+8}{2}=\dfrac{14}{2}=7

x_2=\dfrac{6-8}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1

Exemplo: Resolva a equação: 2x^2-8x+10=0

Como a equação já está igualada a zero, podemos encontrar o nosso \Delta:

\Delta=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 10

\Delta = 64-80=-16

Veja que \Delta=-16, ou seja, \Delta<0. Portanto, esta equação não tem soluções reais.

Exemplo: Resolva a equação: 2x^2-16x+10=0.

Vamos encontrar nosso \Delta:

\Delta=(-16)^2-4\cdot 2 \cdot 10=256-80

\Delta=176

Veja que 176 não possui raiz quadrada exata, porém, como 176 é maior do que zero, ainda assim teremos duas soluções reais distintas. Usando a fórmula de Bhaskara, temos:

x_{1,2}=\dfrac{-(-16)\pm\sqrt{176}}{2\cdot 2}

Usando a fatoração em fatores primos, temos que \sqrt{176}=4\cdot\sqrt{11}, logo:

x_{1,2}=\dfrac{16\pm 4\cdot 4\sqrt{11}}{4}

Assim temos as duas soluções:

x_1=\dfrac{16+4\sqrt{11}}{4}=4+\sqrt{11}

x_2=\dfrac{16-4\sqrt{11}}{4}=4-\sqrt{11}

Soma e Produto: Este é um outro método frequentemente usado para se resolver equações do segundo grau, porém, este depende mais da sua capacidade de fazer cálculos e pode se tornar difícil de aplicar se as soluções da equação não forem números inteiros. Este método se baseia no fato de que sempre podemos encontrar a soma e o produto das soluções de uma equação do segundo grau usando as seguintes fórmulas:

x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}

x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}

Exemplo: Vamos encontrar as soluções da equação x^2-x-6=0

Usando as fórmulas da soma e produto temos que:

x_1+x_2=-\dfrac{(-1)}{1}=-1

x_1\cdot x_2=\dfrac{-6}{1}=-6

Da equação do produto, tiramos uma dica importante: Como o produto é negativo, significa que as raízes tem sinais opostos. Como o produto é igual a 6, as possíveis soluções são: x_1=1 e x_2=-6 ou x_1=-1 e x_2=6 ou x_1=2 e x_2=-3 ou x_1=-2 e x_2=3. Agora dentre essas possibilidades, devemos ver em qual delas a soma das raízes é igual a 1. Vemos que a única possibilidade é:

x_1=-2 e x_2=3

Referência:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 1. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

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