Forma Trigonométrica de um Número Complexo

Normalmente quando vemos ou falamos sobre números complexos, eles são descritos como w=a+b\cdot i, com a,b \in \mathbb{R}. Esta é a chamada representação algébrica de um número complexo. Nesta representação os números a e b são as projeções do ponto (a,b) nos eixos reais e imaginários respectivamente do plano complexo. Veja na figura abaixo:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Na figura acima o comprimento do segmento \overline{OW} é chamado de módulo do número complexo w ou |w|. Lembrando que o módulo de um número complexo pode ser encontrado da seguinte forma: |w|=\sqrt{a^2+b^2}.

O argumento de um número complexo w é o ângulo que o vetor \overline{OW} faz com o eixo real (horizontal). Veja a figura abaixo:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Na figura acima, o ângulo \alpha é o argumento do número complexo w.

Conhecendo o módulo e o argumento de um número complexo, podemos expressar este número complexo na chamada forma trigonométrica. A forma trigonométrica de um número complexo w é:

w=|w|\cdot (cos(\alpha)+i\cdot sen(\alpha))

Exemplo: Represente o número complexo w=5+5\sqrt{3}i na sua forma trigonométrica:

Primeiramente, vamos encontrar o módulo de w.

|w|=\sqrt{5^2+(5\sqrt{3})^2}=\sqrt{25+25\cdot 3}=\sqrt{100}=10

Agora, vamos encontrar o argumento de w. Veja nas figuras acima que, em um número complexo w=a+b\cdot i, a e b são os comprimentos dos catetos no triângulo retângulo de hipotenusa |w| assim, neste caso, temos que o cateto sobre o eixo real (horizontal) mede 5, e o cateto paralelo ao eixo imaginário (vertical) mede 10. Como o argumento é o ângulo da que o vetor \overline{OW} faz com o eixo real, podemos calcular a medida \alpha da seguinte forma:

cos(\alpha)=\dfrac{Cateto \ Adjacente}{Hipotenusa}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}

Lembrando da tabela de ângulos notáveis, temos que o ângulo cujo Cosseno vale \dfrac{1}{2} é 60º. Portanto, \alpha=60^o. Assim, podemos escrever a forma trigonométrica do número w=5+5\sqrt{3}i:

w=|w|\cdot (cos(\alpha)+i\cdot sen(\alpha))

w=10\cdot (cos(60^o)+i\cdot sen(60^o))

Exemplo: Represente na forma algébrica o número complexo w=20\cdot(cos(30^o)+i\cdot sen(30^o)).

Neste caso temos que o módulo do número complexo w vale 20, e que seu argumento é \alpha=30^o, portanto podemos encontrar as medidas dos catetos do triângulo da seguinte forma:

sen(30^o)=\dfrac{Cateto \ Oposto}{Hipotenusa}=\dfrac{1}{2}\rightarrow \dfrac{b}{20}=\dfrac{1}{2}

Logo, b=10.

cos(30^o)=\dfrac{Cateto \ Adjacente}{Hipotenusa}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\rightarrow \dfrac{a}{20}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Logo, a=10\sqrt{3}.

Finalmente temos que w=a+b\cdot i, ou seja w=10\sqrt{3}+10\cdot i.

Referências:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 3. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
  • Geogebra©, disponível em https://www.geogebra.org, 2020.

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