Potências de i

Seja i a unidade imaginária, tal que i=\sqrt{-1}. Assim, vamos calcular as primeiras potências de i:

  • i^0=1
  • i^1=i
  • i^2=i\cdot i=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=(\sqrt{-1})^2=-1
  • i^3=i\cdot i^2 = -1\cdot i= -i
  • i^4=i^2\cdot i^2=(-1)\cdot (-1)=1
  • i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i
  • i^6=i^4\cdot i^2=1\cdot (-1)=-1
  • i^7=i^4\cdot i^3=1\cdot (-i)=-i

Note que i^5=i^1, i^6=i^2, i^7=i^3, e assim por diante. Isso ocorre por que toda potência de i maior do que 4 pode ser decomposta em uma potência de grau 4 multiplicado por uma outra potência, exatamente como mostramos acima. Assim, para calcular qualquer potência de i, basta dividir o expoente por 4 e encontrar o resto da divisão. A potência procurada será igual a i elevado ao resto dessa divisão.

Exemplo: Vamos calcular i^{2021}:

Primeiramente, vamos dividir 2021 por 4:

\begin{array}{cc} 2021 & \underline{| \ 4 \ } \\  \underline{ \ 20 \ } & 505\\  021 & \ \\ \underline{ \ 20 \ } & \ \\ 1 & \  \end{array}

Portanto, temos que o resto da divisão de 2021 por 4 é 1. Assim temos que:

i^{2021}=i^1=i

Exemplo: Vamos calcular i^{625}

Primeiramente, vamos dividir 625 por 4:

\begin{array}{cc} 625& \underline{| \ 4 \ } \\ \underline{ \ 4 \ } & 156\\ 22 & \ \\ \underline{ \ 20 \ } & \ \\ 25 & \ \\ \underline{ \ 24 \ } & \ \\ 1 & \  \end{array}

Portanto, temos que o resto da divisão de 625 por 4 é 1, e assim temos que:

i^{625}=i^1=i

Referência:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 3. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

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