Números Complexos

Um número complexo é um número w=a+b\cdot i, onde a,b\in\mathbb{R} e i é a unidade imaginária tal que i=\sqrt{-1}. Se a=0, dizemos que o número complexo w é um número imaginário puro. Se b=0, dizemos que w é um número real.

Antes de descrever como fazer operações com números complexos, devemos antes definir o conjugado de um número complexo:

Seja w=a+b\cdot i um número complexo, temos que o conjugado de w, será o número \bar{w}=a-b\cdot i.

Note que, se w=a+b\cdot i é um número complexo, temos que:

w\cdot\bar{w}=(a+b\cdot i)\cdot (a-b\cdot i)

w\cdot\bar{w}=a^2-(b\cdot i)^2=a^2-b^2\cdot i^2

Porém, como i=\sqrt{-1}\rightarrow i^2=-1, logo:

w\cdot\bar{w}=a^2-b^2\cdot (-1)=a^2+b^2

Ou seja, o produto de um número complexo qualquer por seu conjugado resulta em um número real.

Operações com Números Complexos:

Sejam dois números complexos w_1=a+b\cdot i e w_2=c+d\cdot i, então temos:

Soma: Para somarmos w_1 com w_2, basta somar a parte real de w_1 com a parte real de w_2 e somar a parte imaginária de w_1 com a parte imaginária de w_2, ou seja:

w_1+w_2=(a+b\cdot i)+(c+d\cdot i)=(a+c)+(b\cdot i + d\cdot i)

w_1+w_2=(a+c)+(b+d)\cdot i

Exemplo:

(2+3i)+(1-5i)=(2+1)+(3+(-5))\cdot i =3+(-2)\cdot i = 3-2\cdot i.

Subtração: Segue uma regra análoga à soma acima, ou seja:

w_1-w_2=(a+b\cdot i)-(c+d\cdot i)=(a-c)+(b\cdot i - d\cdot i)

w_1-w_2==(a-c)+(b-d)\cdot i

Exemplo:

(2+5\cdot i)-(1+2\cdot i)=(2-1)+(5-2)\cdot i=1+3\cdot i.

Multiplicação: Para multiplicarmos dois números complexos w_1=a+b\cdot i e w_2=c+d\cdot i, basta fazer a distributiva da multiplicação:

w_1 \cdot w_2 = (a+b\cdot i)\cdot (c+d\cdot i)

w_1 \cdot w_2=ac +ad\cdot i+bc\cdot i+bd\cdot i^2

Como i^2=-1, temos:

w_1 \cdot w_2 =ac-bd+(ad+bc)\cdot i

Exemplo:

(2+3\cdot i)\cdot (4+2\cdot i)=2\cdot 4+2\cdot 2\cdot i+3\cdot i\cdot 4+3\cdot 2\cdot i^2

E, como i^2=-1, temos:

(2+3\cdot i)\cdot (4+2\cdot i)=8+4\cdot i+12\cdot i+6\cdot (-1)

(2+3\cdot i)\cdot (4+2\cdot i)=8-6+16\cdot i=2+16\cdot i.

Divisão: Para dividir w_1=a+b\cdot i por w_2=c+d\cdot i, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja:

\dfrac{w_1}{w_2}=\dfrac{a+b\cdot i}{c+d\cdot i}=\dfrac{(a+b\cdot i)}{(c+d\cdot i)}\cdot \dfrac{(c-d\cdot i)}{(c-d\cdot i)}

Agora, no numerador multiplicamos os números complexos w_1 e \bar{w_2} e no denominador multiplicamos o número complexo w_2 pelo seu conjugado \bar{w_2}:

\dfrac{w_1}{w_2}=\dfrac{ac+bd+(bc-ad)\cdot i}{c^2+d^2}

Exemplo:

\dfrac{2+3\cdot i}{4+3\cdot i}=\dfrac{2+3\cdot i}{4+3\cdot i}\cdot\dfrac{4-3\cdot i}{4-3\cdot i}

Agora, no numerador multiplicamos os números complexos (2+3\cdot i) e (4-3\cdot i) e no denominador multiplicamos o número complexo (4+3\cdot i) pelo seu conjugado (4-3\cdot i):

\dfrac{2+3\cdot i}{4+3\cdot i}=\dfrac{8+6\cdot i -12\cdot i -9\cdot i^2}{16-9\cdot (-1)}=\dfrac{17+6\cdot i}{25}

Módulo: Seja w=a+b\cdot i um número complexo. O módulo de w denotado por |w| é dado por:

|w|=\sqrt{a^2+b^2}

Exemplo:

|4+3\cdot i|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

Potenciação: Para calcular potências de um número complexo w=a+b\cdot i, primeiro é necessário conhecer a sua forma trigonométrica dada por: w=|w|\cdot (cos(\alpha)+i\cdot sen(\alpha)). Assim, as potências de um número complexo podem ser calculadas usando a Fórmula de Moivre:

w^n=|w|^n\cdot (cos(n\cdot\alpha)+i\cdot sen(n\cdot\alpha))

Referência:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 3. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

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