Logaritmo

Seja a>0, \ b>0 e b\neq 1, o logaritmo de um número a na base b é definido como:

\log_{b}(a)=c \iff b^c=a

Nessas condições, temos a seguinte nomenclatura:

  • a é chamado de logaritmando;
  • b é chamado de base;
  • c é chamado de logaritmo.

Exemplo: \log_{2}(8)=3, pois 2^3=8

Exemplo: \log_{3}\left( \dfrac{1}{3} \right)=-1, pois 3^{(-1)}=\dfrac{1}{3}

Propriedades do logaritmo:

\log_{a}(1)=0\log_{a}(a)=1
\log_{a}(a^b)=ba^{\log_{a}(b)}=b
\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}(b)+\log_{a}(c)\log_{a}\left( \dfrac{b}{c} \right)=\log_{a}(b)-\log_{a}(c)
\log_{a}(b^c)=c\cdot\log_{a}(b)\log_{a}(\sqrt[b]{c})=\left( \dfrac{1}{b} \right)\cdot \log_{a}(c)
\log_{a^b}(c)=\left( \dfrac{1}{b}\right)\cdot \log_{a}(c)\log_{a}(b)=\dfrac{\log_{k}(b)}{\log_{k}(a)}

Veja abaixo alguns exemplos resolvidos:

Exemplos: Calcule o valor de 5^{(3\cdot\log_{5}(3))}.

Primeiramente, usando as propriedades de potências, temos que:

5^{(3\cdot\log_{5}(3))}=\left( 5^{log_{5}(3)} \right)^3

Agora usando as propriedades de logaritmo temos que:

5^{log_{5}(3)}=3

Portanto:

5^{(3\cdot\log_{5}(3))}=3^3=27

Exemplo: Calcule o valor de \log_{3\sqrt[3]{3}}(3).

Seja x\in\mathbb{R} tal que \log_{3\sqrt[3]{3}}(3)=x, então pela definição de logaritmo temos que:

(3\sqrt[3]{3})^x=3

\left(3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\right)^x=3

Agora usando as propriedades de potências, temos:

\left(3^{1+\frac{1}{3}}\right)^x=\left(3^{\frac{4}{3}}\right)^x=3^{\frac{4x}{3}}

Então temos que:

3^{\frac{4x}{3}}=3^1

Logo \dfrac{4x}{3}=1 e portanto:

x=\dfrac{3}{4}

Referência:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 1. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

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