Logaritmo

Seja $a>0$ , $\ b>0$ e $b\neq 1$ , o logaritmo de um número $a$ na base $b$ é definido como:

$\log_{b}(a)=c \iff b^c=a$

Nessas condições, temos a seguinte nomenclatura:

Exemplo: $\log_{2}(8)=3$ , pois $2^3=8$

Exemplo: $\log_{3}\left( \dfrac{1}{3} \right)=-1$ , pois $3^{(-1)}=\dfrac{1}{3}$

Propriedades do logaritmo:

Veja abaixo alguns exemplos resolvidos:

Exemplos: Calcule o valor de $5^{(3\cdot\log_{5}(3))}$ .

Primeiramente, usando as propriedades de potências, temos que:

$5^{(3\cdot\log_{5}(3))}=\left( 5^{log_{5}(3)} \right)^3$

Agora usando as propriedades de logaritmo temos que:

$5^{log_{5}(3)}=3$

Portanto:

$5^{(3\cdot\log_{5}(3))}=3^3=27$

Exemplo: Calcule o valor de $\log_{3\sqrt[3]{3}}(3)$ .

Seja $x\in\mathbb{R}$ tal que $\log_{3\sqrt[3]{3}}(3)=x$ , então pela definição de logaritmo temos que:

$(3\sqrt[3]{3})^x=3$

$\left(3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\right)^x=3$

Agora usando as propriedades de potências, temos:

$\left(3^{1+\frac{1}{3}}\right)^x=\left(3^{\frac{4}{3}}\right)^x=3^{\frac{4x}{3}}$

Então temos que:

$3^{\frac{4x}{3}}=3^1$

Logo $\dfrac{4x}{3}=1$ e portanto:

$x=\dfrac{3}{4}$

Referência:

IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 1. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

VEJA MAIS:

Funções Logarítmicas

$\log_{a}(1)=0$	$\log_{a}(a)=1$
$\log_{a}(a^b)=b$	$a^{\log_{a}(b)}=b$
$\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}(b)+\log_{a}(c)$	$\log_{a}\left( \dfrac{b}{c} \right)=\log_{a}(b)-\log_{a}(c)$
$\log_{a}(b^c)=c\cdot\log_{a}(b)$	$\log_{a}(\sqrt[b]{c})=\left( \dfrac{1}{b} \right)\cdot \log_{a}(c)$
$\log_{a^b}(c)=\left( \dfrac{1}{b}\right)\cdot \log_{a}(c)$	$\log_{a}(b)=\dfrac{\log_{k}(b)}{\log_{k}(a)}$

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