Função Logarítmica

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Sejam a>0, b>0 e b\neq 1, a função logarítmica pode ser definida como f:\mathbb{R^*_+}\rightarrow \mathbb{R} de forma que f(x)=\log_b (a). Isso significa que a incógnita x só pode assumir valores maiores do que zero, enquanto y=f(x) pode assumir qualquer valor real.

Propriedades da Função Logarítmica:

  • A Função Logarítmica é estritamente crescente se b>1. Veja a seguir o gráfico da função y=\log_2 (x):

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

  • A função logarítmica é estritamente decrescente se 0<b<1. Veja a seguir o gráfico da função f(x)=log_{\frac{1}{2}}(x):

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

  • A Função Logarítmica não é uma função par pois, como o domínio da função é apenas o conjunto dos números reais positivos, f(-x) não está definida. Assim, não podemos ter f(-x)=f(x), que é a condição para que uma função seja par.
  • A Função Logarítmica também não é uma função ímpar pois, como o domínio da função é apenas o conjunto dos números reais positivos, f(-x) não está definida. Assim, não podemos ter f(-x)=-f(x), que é a condição para que uma função seja ímpar.
  • A Função Logarítmica é uma função injetora pois, como ela é uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente nós podemos garantir que dados x_1\neq x_2 teremos f(x_1)\neq f(x_2) (Veja o gráfico acima).
  • A Função Logarítmica é uma função sobrejetora pois como o contradomínio é igual a imagem da função, temos:

\forall y\in\mathbb{R}, \exists x\in\mathbb{R^*_+} \ | \ f(x)=y

  • Como a Função Logarítmica é injetora e sobrejetora, temos que ela é uma função bijetora.

Referências:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 1. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
  • Geogebra©, disponível em https://www.geogebra.org, 2020.

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