Inequações Exponenciais

Inequações exponenciais serão inequações onde a variável (ou incógnita) está no expoente, e não na base.

Exemplo: 2^x\geqslant 16

Funções exponenciais, por exemplo a^x, a\in \mathbb{R} tem a característica de serem sempre crescentes, ou sempre decrescentes, dependendo da base. Veja:

Abaixo temos o gráfico de y=a^x se a>1:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Note que x_1 <x_2 e y_1<y_2. Isso significa que, se estivermos comparando potências de bases iguais e as bases forem maiores do que 1, a desigualdade se mantém para a comparação dos expoentes.

Exemplo: 2^x>32

Primeiro vamos deixar as potências na mesma base:

2^x>2^5

Agora, como a base (2) é maior do que 1, podemos usar a mesma desigualdade para comparar os expoentes. Assim, podemos concluir que:

x>5

Porém, se a função exponencial a^x tiver a base 0<a<1, então ela será sempre decrescente. Veja abaixo o gráfico da função y=\left(\dfrac{1}{a}\right)^x :

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

Note que x_1<x_2, porém y_1>y_2. Isso significa que, se estivermos comparando potências de bases iguais e as bases forem menores do que 1 e maiores do que zero, a desigualdade vai se inverter em algum momento durante os cálculos.

Exemplo: \left(\dfrac{1}{2}\right)^x>32

Primeiro vamos deixar as potencias na mesma base:

2^{-x}>2^5

Como as bases são iguais, podemos usar a mesma desigualdade para comparar os expoentes:

-x>5

Agora vamos multiplicar ambos os lados por -1, lembrando que ao fazer isso devemos inverter a desigualdade:

x<-5

Exemplo: \left(\dfrac{2}{3}\right)^x\geqslant \dfrac{81}{16}

Primeiramente veja que 81=3^4 e que 16=2^4, assim temos que:

\left( \dfrac{2}{3} \right)^x\geqslant \left( \dfrac{3}{2}\right)^4

Agora perceba que \left( \dfrac{3}{2}\right)=\left( \dfrac{2}{3}\right)^{-1}, pois o expoente negativo inverte a fração. Assim:

\left( \dfrac{2}{3} \right)^x\geqslant \left(\left( \dfrac{2}{3}\right)^{-1}\right)^4

Usando as propriedades de potencias temos que:

\left( \dfrac{2}{3} \right)^x\geqslant \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-4}

Como as bases são iguais, podemos usar a mesma desigualdade para comparar os expoentes:

x\geqslant -4

Exemplo: 36^{x-2}\leqslant \dfrac{1}{6}

Primeiro, vamos deixar tudo na mesma base. Veja que 36=6^2, e \dfrac{1}{6}=6^{-1}, assim:

\left(6^2\right)^{x-2}\leqslant 6^{-1}

Agora usando as propriedades de potencias temos:

6^{2x-4}\leqslant 6^{-1}

Agora, como as bases são iguais, podemos usar a mesma desigualdade para comparar os expoentes:

2x-4\leqslant -1

2x\leqslant 3

x\leqslant \dfrac{3}{2}

Referências:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 1. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
  • Geogebra©, disponível em https://www.geogebra.org, 2020.

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