Inequações exponenciais serão inequações onde a variável (ou incógnita) está no expoente, e não na base.
Exemplo:
Funções exponenciais, por exemplo tem a característica de serem sempre crescentes, ou sempre decrescentes, dependendo da base. Veja:
Abaixo temos o gráfico de se
:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020
Note que e
. Isso significa que, se estivermos comparando potências de bases iguais e as bases forem maiores do que 1, a desigualdade se mantém para a comparação dos expoentes.
Exemplo:
Primeiro vamos deixar as potências na mesma base:
Agora, como a base (2) é maior do que 1, podemos usar a mesma desigualdade para comparar os expoentes. Assim, podemos concluir que:
Porém, se a função exponencial tiver a base
, então ela será sempre decrescente. Veja abaixo o gráfico da função
:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020
Note que , porém
. Isso significa que, se estivermos comparando potências de bases iguais e as bases forem menores do que 1 e maiores do que zero, a desigualdade vai se inverter em algum momento durante os cálculos.
Exemplo:
Primeiro vamos deixar as potencias na mesma base:
Como as bases são iguais, podemos usar a mesma desigualdade para comparar os expoentes:
Agora vamos multiplicar ambos os lados por , lembrando que ao fazer isso devemos inverter a desigualdade:
Exemplo:
Primeiramente veja que e que
, assim temos que:
Agora perceba que , pois o expoente negativo inverte a fração. Assim:
Usando as propriedades de potencias temos que:
Como as bases são iguais, podemos usar a mesma desigualdade para comparar os expoentes:
Exemplo:
Primeiro, vamos deixar tudo na mesma base. Veja que , e
, assim:
Agora usando as propriedades de potencias temos:
Agora, como as bases são iguais, podemos usar a mesma desigualdade para comparar os expoentes:
Referências:
- IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 1. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
- Geogebra©, disponível em https://www.geogebra.org, 2020.
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