Função Exponencial

Seja $a\in \mathbb{R}_{+}$ tal que $a>0$ e $a\neq 1$ , podemos definir a função exponencial como uma função $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{*}_{+}$ de forma que $f(x)=a^x$ . Isso significa que a incógnita $x$ pode assumir qualquer valor real, mas $y=f(x)$ só pode assumir valores reais maiores do que zero.

Propriedades da Função Exponencial:

A função exponencial é estritamente crescente se a base $a$ for maior do que 1. Veja a seguir o gráfico da função $f(x)=2^x$ :

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

A função exponencial é estritamente decrescente se a base $a$ for maior que zero e menor do que 1. Veja a seguir o gráfico da função $f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ :

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

A função exponencial não é uma função Par pois, em geral, $f(-x)\neq f(x)$ . Por exemplo, seja $f(x)=a^x$ a nossa função exponencial. Temos que $f(-x)=a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$ e, em geral temos:

$a^x \neq \dfrac{1}{a^x}$

A função exponencial também não é uma função ímpar pois, em geral $f(-x)\neq -f(x)$ . Por exemplo, Seja $f(x)=a^x$ a nossa função exponencial. Temos que $f(-x)=a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$ e, em geral temos:

$\dfrac{1}{a^x}\neq -a^x$

A função exponencial é injetora, pois, como ela é uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente, podemos sempre garantir que dado $x_1 \neq x_2$ sempre teremos $f(x_1)\neq f(x_2)$ . (Veja ambos os gráficos acima)

Da forma como definimos a função exponencial, ela é uma função sobrejetora, pois o contra-domínio é igual a imagem da função, ou mais formalmente:

$\forall y\in\mathbb{R}^{*}_{+}, \exists x\in\mathbb{R} \ | \ f(x)=y$

Portanto, se definida desta forma, a função exponencial é uma função bijetora.

OBS: Em geral, usamos a base $a$ como sendo maior do que zero na definição de funções exponenciais pois estamos trabalhando no contexto dos números reais. Uma base menor que zero poderia fazer a função assumir valores complexos dependendo do expoente.

Referências: