Função Exponencial

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Seja a\in \mathbb{R}_{+} tal que a>0 e a\neq 1, podemos definir a função exponencial como uma função f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{*}_{+} de forma que f(x)=a^x. Isso significa que a incógnita x pode assumir qualquer valor real, mas y=f(x) só pode assumir valores reais maiores do que zero.

Propriedades da Função Exponencial:

  • A função exponencial é estritamente crescente se a base a for maior do que 1. Veja a seguir o gráfico da função f(x)=2^x:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

  • A função exponencial é estritamente decrescente se a base a for maior que zero e menor do que 1. Veja a seguir o gráfico da função f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x:

Feito com Geogebra© (https://www.geogebra.org), 2020

  • A função exponencial não é uma função Par pois, em geral, f(-x)\neq f(x). Por exemplo, seja f(x)=a^x a nossa função exponencial. Temos que f(-x)=a^{-x}=\dfrac{1}{a^x} e, em geral temos:

a^x \neq \dfrac{1}{a^x}

  • A função exponencial também não é uma função ímpar pois, em geral f(-x)\neq -f(x). Por exemplo, Seja f(x)=a^x a nossa função exponencial. Temos que f(-x)=a^{-x}=\dfrac{1}{a^x} e, em geral temos:

\dfrac{1}{a^x}\neq -a^x

  • A função exponencial é injetora, pois, como ela é uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente, podemos sempre garantir que dado x_1 \neq x_2 sempre teremos f(x_1)\neq f(x_2). (Veja ambos os gráficos acima)
  • Da forma como definimos a função exponencial, ela é uma função sobrejetora, pois o contra-domínio é igual a imagem da função, ou mais formalmente:

\forall y\in\mathbb{R}^{*}_{+}, \exists x\in\mathbb{R} \ | \ f(x)=y

  • Portanto, se definida desta forma, a função exponencial é uma função bijetora.

OBS: Em geral, usamos a base a como sendo maior do que zero na definição de funções exponenciais pois estamos trabalhando no contexto dos números reais. Uma base menor que zero poderia fazer a função assumir valores complexos dependendo do expoente.

Referências:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 1. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
  • Geogebra©, disponível em https://www.geogebra.org, 2020.

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