Equações Exponenciais

Uma equação exponencial é uma equação onde a variável está no expoente, e não na base.

Exemplo:

2^x=8

Para resolver equações exponenciais é interessante, sempre que possível, deixar as potências na mesma base. Pois uma igualdade de potências de mesma base implica numa igualdade de expoentes. Veja este raciocínio aplicado no exemplo acima:

2^x=8

2^x=2^3

x=3

Porém, a maioria das equações exponenciais não são tão simples assim. Para trabalhar com equações exponenciais mais complexas, precisamos das seguintes propriedades das potencias:

x^m\cdot x^n = x^{m+n} \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}
x^m\cdot y^m=(x\cdot y)^m\dfrac{x^m}{y^m}=\left( \dfrac{x}{y} \right)^m
x^0=1, \ \forall x\neq 00^x=0, \ \forall x\neq 0
(x^m)^n=x^{m\cdot n}x^{-m}=\dfrac{1}{x^m}

Veja abaixo alguns exercícios resolvidos:

Exemplo: Se 4^{2x}=512, então x é igual a:

Veja que, usando as propriedades da tabela temos que 4^{2x} = (2^2)^{2x}=2^{4x} e 512=2^9. Logo:

4^{2x}=512\rightarrow 2^{4x}=2^9

Portanto, como as bases são iguais, temos que 4x=9, ou x=\dfrac{9}{4}.

Exemplo: Qual o valor de x que satisfaz 3^{x}=\dfrac{1}{27}?

Note que 27=3^3 e \dfrac{1}{27}=27^{-1}. Assim, usando estes fatos temos que:

27^{-1}=(3^3)^{-1}=3^{-3}

3^{x}=\dfrac{1}{27}\rightarrow 3^x=3^{-3}

Portanto, como as bases são iguais, temos que x=-3.

Exemplo: Encontre o(s) valor(es) de x que satisfazem a equação: 2\cdot 2^{2x}-6\cdot 2^x=-4.

Primeiramente, note que usando as propriedades da tabela temos que: 2^{2x}=(2^x)^2. Assim, podemos reescrever a equação do problema da seguinte forma:

2\cdot (2^x)^2-6\cdot 2^x=-4

Agora, vamos fazer uma mudança de variável, ou seja, vamos dizer que y=2^x. Substituindo isso na equação acima, temos:

2y^2-6y=-4

Ou também:

2y^2-6y+4=0

Que é uma equação do segundo grau. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara ou Soma e Produto, aqui vamos usar a fórmula de Bhaskara:

\Delta=(-6)^2-4\cdot 2 \cdot 4=36-32=4

y_{1,2}=\dfrac{-(-6)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 2}

Assim temos as soluções para y:

y_1=\dfrac{6+2}{4}=\dfrac{8}{4}=2

y_1=\dfrac{6-2}{4}=\dfrac{4}{4}=1

Porém, lembre-se que não queremos encontrar y, queremos encontrar x. Assim, fazendo a mudança de variável de volta, como y=2^x e temos y_1=2 e y_2=1 obtemos:

2^x=2\rightarrow x=1

2^x=1\rightarrow x=0

Referência:

  • IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R. Matemática Volume Único-Parte 1. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.

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